Изучается динамика нелинейных непрерывно-дискретных (гибридных) систем и ее зависимость от шага h дискретизации. Такие системы содержат фазовые переменные и уравнения как с непрерывным, так и с дискретным временем. Основным в работе является вопрос о локальных бифуркациях при потере устойчивости точек равновесия гибридных систем. Приводятся достаточные признаки бифуркаций, изучаются свойства бифуркаций, определяются возможные сценарии бифуркаций. Введено понятие трансверсальной бифуркации, означающее, что соответствующее собственное значение матрицы линеаризованной задачи переходит через единичную окружность при переходе параметра h через точку бифуркации h₀. Показано, что в однопараметрической постановке типичными являются два основных сценария: трансверсальная бифуркация удвоения периода и трансверсальная бифуркация Андронова-Хопфа, при этом сценарий трансверсальной бифуркации кратного равновесия, как правило, не реализуется. Приводятся примеры, иллюстрирующие эффективность предложенных подходов в задаче исследования бифуркаций в гибридных системах.

Рассматривается непрерывное отображение X ^f→ Y и его продолжение exp_τ X ^f→ exp_τ Y, где exp_τ X — экспонента (гиперпространство) топологического пространства X, снабженная некоторой топологией τ, ḟ(F) = [f(F)]Y (замыкание множества f(F) в пространстве Y). Найдено необходимое и достаточное условие (модификация условия (WO) Харриса) непрерывности отображения ḟ в случаях τ = τ_LF (локально конечная топология) и τ = τ_F (топология Фелла). При метризуемости пространств X и Y рассмотрена топология τ_inf, возникающая на exp X как пересечение всех топологий, заданных метриками Хаусдорфа. В случае τ = τ_inf установлено достаточное условие (условие (TUC)) непрерывности ḟ. Показано, что это условие является и необходимым, если пространство Y локально компактно и со счетной базой. Полученные результаты комментируются с позиции теории категорий и функторов.

Установлено, что множество всех осколочно компактных ортогонально аддитивных операторов, действующих из векторной решетки E в AM-пространство F является векторной решеткой, причем решеточные операции вычисляются по формулам Рисса-Канторовича. Кроме того, показано, что положительное, порядково компактное ортогонально аддитивное отображение, заданное на латеральном идеале векторной решетки E и принимающее значение в AM-пространстве F, допускает продолжение на все E.

Исследуются начально-краевая и обратная коэффициентная задача определения коэффициента, зависящего от времени в дробном телеграфном уравнении с соответствующей (conformable) дробной производной. В начале рассматривается начально-краевая задача (прямая задача). Методом Фурье эта задача сводится к эквивалентным интегральным уравнениям. Затем, используя технику оценивания решений и обобщенное неравенство Гронуолла, выводятся априорные оценки решения через неизвестный коэффициент, которые будут использоваться для исследования обратной задачи. Обратная задача сводится к эквивалентному интегральному уравнению типа Вольтерра. Чтобы показать существование и единственность решения, применяется принцип Банаха. Доказаны теоремы о локальном существовании и единственности решения.

Рассматривается линейное интегральное уравнение, связанное с коэффициентной обратной задачей для гиперболического уравнения. В обратной задаче по данным измерений рассеянных неоднородностью скалярных волновых полей требуется восстановить скорость распространения сигнала на неоднородности. Зондирующие поля генерируются точечными источниками, сосредоточенными на окружности. Доказывается единственность решения обратной задачи с таким расположением источников при достаточно общих предположениях о выборе множества детекторов. Устанавливается связь свойства осевой симметрии данных рассеяния и симметрии искомой функции относительно той же оси.

Исследуются свойства и приложения октонионного преобразования Фурье с акцентом на вейвлет-анализе. Вейвлет-преобразование Мориты расширяется на октонионные пространства Бесова, взвешенные октонионные пространства Бесова, октонионные пространства BMO и взвешенные октонионные пространства BMO. Полученные оценки для октонионного вейвлет-преобразования Мориты в этих пространствах способствуют более глубокому пониманию его поведения. Наши результаты открывают перспективы для будущих исследований в обработке сигналов, анализе изображений и взаимодействии октонионного вейвлет-анализа с другими математическими теориями.

Исследуются задачи, связанные с описанием тождеств, выполняющихся во всех n-мерных ассоциативных нильпотентных алгебрах над полем (n фиксировано). Автором ранее была сформулирована гипотеза о том, что произвольная n-мерная нильпотентная алгебра над любым полем удовлетворяет некоторому стандартному тождеству минимальной степени, и в подтверждение данной гипотезы получен ряд результатов. В данной статье выясняется, что эта гипотеза подтверждается и в классе 2-алгебр, т. е. таких локально нильпотентных алгебр над полем, что квадрат главного идеала, порожденного любым из порождающих алгебры, равен нулю. Более того, описан идеал тождеств многообразия, порожденного n-мерными 2-алгебрами над произвольным полем (n фиксировано).

Рассматривается задача со свободной границей для системы квазилинейных параболических уравнения в одномерном случае. Для искомого решения установлены априорные оценки Шаудерского типа. На основе полученных оценок доказаны теоремы единственности и существования.

Устанавливается разрешимость в слабом смысле начально-краевой задачи для модели Кельвина-Фойгта второго порядка со сглаженной производной Яуманна по времени с учетом памяти движения жидкости. Для доказательства рассматривается задача, аппроксимирующая исходную, и на основе априорных оценок решений и теории степени Лере-Шаудера устанавливается ее разрешимость. После чего осуществляется предельный переход при стремлении параметра аппроксимации к нулю и показывается, что решения аппроксимационной задачи слабо сходятся к слабому решению исходной задачи.

Построение дифференциальных инвариантов и классификации уравнений Калоджеро относительно точечных преобразований. Известно, что уравнения Калоджеро можно привести к линейным уравнениям с помощью контактных преобразований при условии, что функция f является квадратичной. Однако вопрос классификации уравнений для произвольной функции f относительно точечных преобразований оставался открытым. Данная работа посвящена ликвидации этого пробела. Находятся допустимые точечные преобразования, сохраняющие класс уравнений Калоджеро, и дифференциальные инварианты относительно таких преобразований. С помощью дифференциальных инвариантов доказывается теорема об эквивалентности уравнений Калоджеро относительно точечных преобразований.

Представлены основные результаты о классических неравенствах, таких как неравенства Харди, Соболева, Цвинкеля-Либа-Розенблюма и Либа-Тирринга, для антисимметрических функций.