При попытке воспроизведения точных решений В. Киннерсли задачи о капиллярных волнах в жидком слое получены новые точные решения, которые принципиально не могут совпадать с решениями В. Киннерсли. Независимая численная проверка подтверждает достоверность полученных решений. В результате их анализа сформулирован критерий разрушения жидкого слоя и установлено, что длина капиллярной волны не может превышать величины, равной примерно 1.6 толщины слоя.

Продолжается исследование мультипликативно идемпотентных полуколец с аннуляторным условием. Доказано, что для мультипликативно идемпотентных полуколец с нулем аннуляторное условие эквивалентно уравнительному свойству (теорема 1). Получены новые условия (риккартовость, свойства простого спектра и другие), при которых мультипликативно идемпотентное полукольцо изоморфно прямому произведению булева кольца и обобщенной булевой решетки (теоремы 2 и 3). Доказаны другие утверждения, приведены примеры, сделаны поясняющие замечания.

Пусть $(x_n)$ — последовательность и $\rho\geq 1$. Для двух фиксированных последовательностей $n_1<n_2<n_3<\dots$ и $M$ определим осцилляционный оператор

$$\mathcal{O}_\rho (x_n)=(\sum_{k=1}^\infty\sup_{\substack{n_k\leq m< n_{k+1}\\m\in M}}\left|x_m-x_{n_k}\right|^\rho)^{1/\rho}.$$

Пусть $(X,\mathscr{B} ,\mu , \tau)$ — динамическая система, где $(X,\mathscr{B} ,\mu )$ — вероятностное пространство, а $\tau$ — измеримое, обратимое, сохраняющее меру отображение из $X$ в себя.

Предположим, что последовательность $(n_k)$ является лакунарной, а $M$ — такая произвольная последовательность положительных вещественных чисел, что существует $\ell \in \mathbb{R}$, удовлетворяющее условию

                                                   $\#\{m\in M:n_k\leq m<n_{k+1}\}\leq \ell$

для всех $k\in \mathbb{N}$, где $\#$ обозначает мощность множества. Тогда для $\rho\geq 2$ в статье доказываются следующие результаты.

(i) Определим $\phi_n(x)=\dfrac{1}{n}\chi_{[0,n]}(x)$ на $\mathbb{R}$. Тогда существует константа $C>0$ такая, что

$$\|\mathcal{O}_\rho (\phi_n\ast f)\|_{L^1(\mathbb{R})}\leq C\|f\|_{H^1(\mathbb{R})}$$

для всех $f\in H^1(\mathbb{R})$.

(ii) Пусть $\displaystyle A_nf(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(\tau^kx)$ — обычные эргодические средние из эргодической теории.

Тогда

$$\|\mathcal{O}_\rho (A_nf)\|_{L^1(X)}\leq C\|f\|_{H^1(X)}$$

для всех $f\in H^1(X)$.

(iii) Если $[f(x)\log (x)]^+$ интегрируема, то $\mathcal{O}_\rho (A_nf)$ тоже интегрируема.

В ранее опубликованной статье автора (С. Демир “Осцилляционные неравенства на вещественных и эргодических пространствах $H^1$”, Изв. вузов. Матем. (3), 52–62 (2023)) вышеупомянутые результаты были получены в случае, когда как последовательность $(n_k)$, так и $M$ являются лакунарными. Таким образом, результаты данной работы обобщают эти результаты на нелакунарную последовательность $M$ с более общим условием роста.

Найдены необходимые и достаточные условия того, чтобы полигон $X$ над тривиальной полугруппой был канторовым (соответственно коканторовым), т. е. чтобы для любого полигона $Y$ из существования инъективных (соответственно сюръективных) гомоморфизмов $X \to Y$ и $Y \to X$ следовал изоморфизм $X \cong Y$.

Пусть $\beta\geq\alpha>-1/2$, $F$ — четная функция класса $C^2(\mathbb{R})$. В работе изучаются свойства решений задачи Коши

$$\frac{\partial^2U}{\partial x^2}+\frac{(2\alpha+1)}{x}\frac{\partial U}{\partial x}=   \frac{\partial^2U}{\partial t^2}+\frac{(2\beta+1)}{t} \frac{\partial U}{\partial t}, \quad x>0,\,\, t>0,$$

$$U(x,0)=F(x), \quad \frac{\partial U}{\partial t}(x,0)=0, \quad x\geq 0,$$ связанные со структурой ядра оператора

$$\mathcal{A}F(t)=\int\limits_{0}^{\pi}F(\sqrt{r^2+t^2-2rt\cos\theta})\sin^{2\alpha}\theta d\theta$$

при фиксированном $r>0$. Показано, что функции из $\mathrm{Ker}\, \mathcal{A}$ однозначно определяются своими значениями на $(0,r)$ и этот промежуток нельзя заменить на интервал $(0,\rho)$ with $\rho<r$. Найдено описание $\mathrm{Ker}\, \mathcal{A}$ в виде рядов по нормированным функциям Бесселя $j_\alpha(\lambda x)$, $\lambda\in\mathcal{N}_r$, где $\mathcal{N}_r=\{x>0: j_\alpha(rx)=0 \}$. С помощью этих результатов установлены новые теоремы единственности для решений указанной задачи Коши, получены теоремы о представлении решений, удовлетворяющих условию $U(\xi,t)=0$, $\xi\in E$, $t>0$, где множество $E$ состоит из одного положительного числа или $E$ совпадает с множеством положительных нулей функции $j_\alpha$, а также доказана новая теорема о двух радиусах.

Известно, что предел последовательности (квази)конформных отображений — либо постоянное, либо (квази)конформное отображение. В настоящей работе доказано, что в случае групп Карно типа Гейзенберга аналогичное свойство справедливо для отображений квазиконформных в среднем, т. е. для гомеоморфизмов с конечным искажением и интегрируемой в подходящей степени функцией искажения. Данный результат применяется для решения модельных задач нелинейной теории упругости на группах Карно.

Доказывается существование универсальных пар $\big({\{\lambda_{k,s}\}_{_{k,s=0} }^{\infty}}\mathbf{,}E\big)$ в смысле модификации относительно мультипликативных систем, также построен универсальный ряд по двойной системе Виленкина в классе измеримых функций двух переменных.

Рассматривается $3 \times 3$ операторная матрица ${\mathcal A}_\mu$ со спектральным параметром $\mu>0$, связанная с гамильтонианом системы с несохраняющимся числом и не более трех частиц на одномерной решетке. Описаны существенный и дискретный спектры операторной матрицы ${\mathcal A}_\mu$. Установлено, что операторная матрица ${\mathcal A}_\mu$ имеет не более четырех простых собственных значений, лежащих вне своего существенного спектра. Получены спектральные оценки для верхней и нижней границ операторной матрицы ${\mathcal A}_\mu$ с помощью кубической числовой области значений, вложения Гершгорина и классической теории возмущений.