Обратные коэффициентные задачи для временно-дробного волнового уравнения с обобщенной производной Римана-Лиувилля по времени

В работе рассматривается обратная задача определения нестационарного коэффициента в волновом уравнении дробного порядка с производной Гильфера. В этом случае прямая задача является начально-краевой задачей для этого уравнения с начальными и нелокальными краевыми условиями типа Коши. В качестве условия переопределенности дается нелокальное интегральное условие относительно решения прямой задачи. Методом Фурье  эта задача сводится к эквивалентным интегральным уравнениям. Затем, используя функцию Миттаг-Леффлера и обобщенное сингулярное неравенство Гронуолла, получаем априорную оценку решения через неизвестный коэффициент, эта оценка понадобится нам для исследования обратной задачи. Обратная задача сводится к эквивалентному интегральному уравнению типа Вольтерра. Для решения этого уравнения используется принцип сжимающего отображения. Доказаны результаты о локальном существовании и глобальной единственности.

1. Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics (World Scientific, Singapore, 2000).

2. Podlubny I. Fractional Differential Equations. In: Mathematics in Science and Engineering, V. 198 (Academic Press, New York, 1999).

3. Hilfer R., Luchko Y., Tomovski Z. Operational method for the solution of fractional differential equations with generalized Riemann Liouville fractional derivatives, Fract. Calc. Appl. Anal. 12 (3), 299-318 (2009).

4. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Application of Fractional Differential Equations (Elsevier, Amsterdam, 2006).

5. Vinagre B.M., Podlubny I., Hernandez A., Feliu V. Some Approximations of Fractional Order Operators Used in Control Theory and Applications, Fract. Calc. Appl. Anal. 3 (3), 231-248 (2000).

6. Ashurov R., Cabada A., Turmetov B. Operator Method for Construction of Solutions of Linear Fractional Differential Equations with Constant Coefficients, Fract. Calc. Appl. Anal. 19 (1), 229-252 (2016).

7. Ashurov R., Umarov S. Determination of the Order of Fractional Derivative for Subdiffusion Equations, Fract. Calc. Appl. Anal. 23 (6), 1647-1662 (2020).

8. Alimov Sh., Ashurov R. Inverse problem of determining an order of the Caputo time-fractional derivative for a subdiffusion equation, J. Inverse and Ill-posed Probl. 28 (5), 651-658 (2020).

9. Agarwal P., Berdyshev A.S., Karimov E.T. Solvability of a Non-local Problem with Integral Transmitting Condition for Mixed Type Equation with Caputo Fractional Derivative, Results Math. 71 (3 4), 1235-1257 (2017).

10. Salakhitdinov M.S., Karimov E.T., Uniqueness of an inverse source non-local problem for fractional order mixed type equations, Eurasian Math. J. 7 (1), 74-83 (2016).

11. Berdyshev A.S., Karimov E.T., Akhtaeva N.S. On a boundary-value problem for the parabolic-hyperbolic equation with the fractional derivative and the sewing condition of the integral form, AIP Conf. Proc. 1611 (1), 133-137 (2014).

12. Karimov E., Mamchuev M., Ruzhansky M. Non-local initial problem for second order time-fractional and space-singular equation, Hokkaido Math. J. 49 (2), 349-361 (2020).

13. Durdiev D.K., Totieva Z.D. The problem of determining the one-dimensional matrix kernel of the system of visco-elasticity equation, Math. Met. Appl. Sci. 41 (17), 8019-8032 (2018).

14. Дурдиев Д.К. О единственности определения ядра интегро-дифференциального уравнения параболического типа, Вестн. Самарск. гос. техн. ун-та. Сер. Физико-матем. науки 19 (4), 658-666 (2015).

15. Kharat V.V., Dhaigude D.B., Hasabe D.R. On nonlinear mixed fractional integro differential inclusion with four-point nonlocal Riemann Liouville integral boundary conditions, Indian J. Pure and Appl. Math. 50 (4), 937-951 (2019).

16. Haide Gou, Tianxiang Wang The method of lower and upper solution for Hilfer evolution equations with non-instantaneous impulses, Indian J. Pure Appl. Math. 54 (4), 499-523 (2023).

17. Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Задача определения ядер в системе интегродифференциальных уравнений Максвелла, Сиб. журн. индустриал. матем. 24 (2), 38-61 (2021).

18. Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Обратная задача для гиперболической системы первого порядка с памятью, Дифференц. уравнения 56 (12), 1666-1675 (2020).

19. Durdiev D.K., Rahmonov A.A., Bozorov Z.R. A two-dimensional diffusion coefficient determination problem for the time-fractional equation, Math. Meth. Appl. Sci. 44 (13), 10753-10761 (2021).

20. Durdiev U.D., Totieva Z.D. A problem of determining a special spatial part of 3D memory kernel in an integro-differential hyperbolic equation, Math. Met. Appl. Sci. 42 (18), 7440-7451 (2019).

21. Damirchi J., Pourgholi R., Shamami T.R., Zeidabadi H., Janmohammadi A. Identification of a Time Dependent Source Function in a Parabolic Inverse Problem via Finite Element Approach, Indian J. Pure and Appl. Math. 51 (4), 1587-1602 (2020).

22. Durdiev D.K. Inverse coefficient problem for the time-fractional diffusion equation, Eurasian J. Math. and Comput. Appl. 9 (1), 44-54 (2021).

23. Durdiev U.D. Problem of Determining the Reaction Coefficient in a Fractional Diffusion Equation, Diff. Equat. 57 (9), 1195-1204 (2021).

24. Durdiev D.K., Rahmonov A.A. A multidimensional diffusion coefficient determination problem for the time-fractional equation, Turk. J. Math. 46 (6), 2250-2263 (2022).

25. Henry D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lect. Notes Math. 840, ed. by Dold A., Eckmann B. (Springer, Berlin, 1981).

26. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations (Elsevier, Amsterdam, 2006).

27. Sandev T., Tomovski Z . Fractional Equations and Models (Springer Nature, Switzerland, 2019).

28. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis (Dover Publ., New York, 1976).