Исследуется обратная задача, состоящая в определении неизвестных локальных изменений плотности населения, независимо от отсутствующей начальной возрастной структуры населения, на основе известных измерений состояния. Основная идея заключается в преобразовании исследования обратной задачи в задачу оптимального управления с неполными данными. Предложенный метод решения такого рода задач — это управление без сожалений, аппроксимированное последовательностью управлений с малым сожалением. Мы доказываем существование и единственность последовательности управлений с малым сожалением, которая слабо сходится к единственному управлению без сожалений. Локальные изменения будут охарактеризованы спаренной системой оптимальности.

Пусть D — шестиугольник, у которого два развернутых и четыре прямых угла. Рассматривается семиэлементное разностное уравнение с голоморфными коэффициентами, порожденное им. Решение отыскивается в классе функций, голоморфных вне “половины” границы ᲛD и исчезающих на бесконечности. Оно представляется в виде интеграла типа Коши по “половине” границы с неизвестной плотностью. Указаны приложения к проблеме моментов для целых функций экспоненциального типа.

Пусть $K_n(x)$ --- ядро Фейера, заданное формулой 
$$K_n(x)=\sum_{j=-n}^n\left(1-\frac{|j|}{n+1}\right)e^{-ijx},$$
и $\sigma_nf(x)=(K_n\ast f)(x)$, где  $f\ast g$ обозначает свертку  $f$ и  $g$. Пусть последовательность $\{n_k\}$ лакунарна. Тогда ряд 
$$\mathcal{G}f(x)=\sum_{k=1}^\infty \left(\sigma_{n_{k+1}}f(x)-\sigma_{n_k}f(x)\right)$$ 
сходится безусловно для любой $f\in L^2(\mathbb{R})$.
Пусть $(n_k)$ --- лакунарная последовательность и  $\{c_k\}_{k=1}^\infty \in \ell^\infty$. Положим 
$$\mathcal{R}f(x)=\sum_{k=1}^\infty c_k\left(\sigma_{n_{k+1}}f(x)-\sigma_{n_k}f(x)\right).$$ 
Тогда существует константа $C>0$ такая, что 
$$\|\mathcal{R}f\|_2\leq C\|f\|_2$$
для всех $f\in L^2(\mathbb{R})$, т.\,е. $\mathcal{R}f$ имеет сильный тип $(2,2)$. Как частный случай, отсюда следует, что $\mathcal{G}f$ также имеет сильный тип $(2,2)$.

Рассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с плохо обусловленной или вырожденной точной матрицей и приближенной правой частью. Предлагается и обосновывается схема решения такой задачи, позволяющая улучшить обусловленности матрицы СЛАУ и получить в результате устойчивое к погрешностям правой части приближенное решение с более высокой точностью, чем при применении ряда других методов. Схема реализуется с помощью алгоритма, использующего так называемые минимальные псевдообратные матрицы. Приводятся результаты численных экспериментов, подтверждающие теоретические положения статьи.

Исследован вопрос об априорной оценке периодических решений для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с выделенной главной положительно однородной частью. В данном вопросе непосредственно не применимы методы вывода априорной оценки периодических решений, известные для аналогичных систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Сочетая данные методы с идеей качественного исследования сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений, найдены условия, обеспечивающие априорную оценку периодических решений для рассматриваемой системы уравнений второго порядка. Условия априорной оценки сформулированы в терминах свойств главной положительно однородной части системы уравнений. Доказана инвариантность существования периодических решений при непрерывном изменении главной положительно однородной части и сохранении условий априорной оценки. На основе полученных результатов в последующем можно исследовать существование периодических решений.

Исследуются двумерные нелинейные уравнения в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами, левая часть которых представляет собой однородный полином второй степени по искомой функции и ее производным. Рассматривается множество линейных мультипликативных преобразований неизвестной функции, сохраняющих вид исходного уравнения. Аналогично линейным уравнениям, инварианты Лапласа определяются как инварианты этого преобразования. Получены выражения для инвариантов Лапласа через коэффициенты уравнения и их первые производные. Для рассматриваемых уравнений найдены эквивалентные системы уравнений первого порядка, содержащие инварианты Лапласа. Показано, что если один из инвариантов Лапласа равен нулю, то соответствующая система сводится к одному уравнению первого порядка. Также в этом случае при выполнении некоторых дополнительных условий на коэффициенты может быть получено решение исходного уравнения в квадратурах. Исследования проведены для гиперболического уравнения со смешанной производной и для нелинейного уравнения второго порядка общего вида с однородным полиномом второй степени по искомой функции и ее производным. Для этих случаев получены выражения для инвариантов Лапласа и приведены соответствующие эквивалентные системы.

В работе на основе теории аттракторов неинвариантных пространств траекторий изучается предельное поведение решений периодической по пространственным переменным задачи для модели Бингама. Для рассматриваемой задачи устанавливаются необходимые экспоненциальные оценки, определяется пространство траекторий и доказывается существование минимального равномерного траекторного и равномерного глобального аттракторов.

Предлагаемый способ оптимизации вычислений носит комбинированный характер. Сначала с использованием кусочно-равномерной сетки строится разностная схема второго порядка точности типа Мак-Кормака, а затем для ослабления условия устойчивости применяется неявная версия схемы, которая даже в нелинейном случае допускает безытерационную реализацию. При построении сетки требуется предварительное исследование, которое базируется на аналитических свойствах решения дифференциальной задачи. На основании проведенных расчетов можно сделать вывод о потенциальном сокращении объема вычислений в десятки раз без заметной потери точности.

Исследуется симметричная дифференциальная задача на собственные значения в частных производных с нелинейной зависимостью от спектрального параметра, возникающая в физике плазмы. Предложены и обоснованы новые условия существования положительного собственного значения и соответствующей положительной собственной функции. Построена конечно-элементная аппроксимация задачи, сохраняющая свойство положительности решений. Установлены результаты о существовании и сходимости приближенных решений.