Об инвариантах Лапласа двумерных нелинейных уравнений второго порядка с однородным полиномом
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-8-55-64
Аннотация
Исследуются двумерные нелинейные уравнения в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами, левая часть которых представляет собой однородный полином второй степени по искомой функции и ее производным. Рассматривается множество линейных мультипликативных преобразований неизвестной функции, сохраняющих вид исходного уравнения. Аналогично линейным уравнениям, инварианты Лапласа определяются как инварианты этого преобразования. Получены выражения для инвариантов Лапласа через коэффициенты уравнения и их первые производные. Для рассматриваемых уравнений найдены эквивалентные системы уравнений первого порядка, содержащие инварианты Лапласа. Показано, что если один из инвариантов Лапласа равен нулю, то соответствующая система сводится к одному уравнению первого порядка. Также в этом случае при выполнении некоторых дополнительных условий на коэффициенты может быть получено решение исходного уравнения в квадратурах. Исследования проведены для гиперболического уравнения со смешанной производной и для нелинейного уравнения второго порядка общего вида с однородным полиномом второй степени по искомой функции и ее производным. Для этих случаев получены выражения для инвариантов Лапласа и приведены соответствующие эквивалентные системы.
Об авторе
И. В. Рахмелевич
Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Россия
Россия
Игорь Владимирович Рахмелевич
пр. Гагарина, д. 23, г. Нижний Новгород, 603950
Список литературы
1. Гурса Э. Курс математического анализа. Т.3., Ч.1. (М.-Л.: ГИТТИ, 1933).
2. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных (М.: Изд-во ин. лит., 1957).
3. Джохадзе О.М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных, Дифференц. уравнения 40 (1), 58–68 (2004).
4. Миронов А.Н., Миронова Л.Б. Об инвариантах Лапласа для уравнения с доминирующей частной производной третьего порядка с двумя независимыми переменными, Матем. заметки 99 (1), 89–96 (2016). DOI: 10.4213/mzm10613
5. Миронов А.Н., Миронова Л.Б. К инвариантам Лапласа для одного уравнения с доминирующей частной производной с тремя независимыми переменными, Дифференц. уравнения 55 (1), 67–73 (2019), DOI: 10.1134/S0374064119010072.
6. Миронов А.Н. Об инвариантах Лапласа одного уравнения четвертого порядка, Дифференц. уравнения 45 (8), 1144–1149 (2009).
7. Миронов А.Н., Миронова Л.Б. Об инвариантах Лапласа для одного уравнения четвертого порядка с двумя независимыми переменными, Изв. вузов. Матем. (10), 27–34 (2014).
8. Жибер А.В., Михайлова Ю.Г. Алгоритм построения общего решения n-компонентной гиперболической системы уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа и краевые задачи, Уфимск. матем. журн. 1 (3), 28–45 (2009).
9. Старцев С.Я. Метод каскадного интегрирования Лапласа для линейных гиперболических систем уравнений, Матем. заметки 83 (1), 107–118 (2008).
10. Старцев С.Я. О вариационной интегрирующей матрице для гиперболических систем уравнений, Фундамент. и прикл. матем. 12 (7) , 251–262 (2006).
11. Кузнецова М.Н. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения, Уфимск. матем. журн. 1 (3), 87–96 (2009).
12. Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа, УМН 56 (1), 63–106 (2001). DOI: https://doi.org/10.4213/rm357
13. Старцев С.Я. Об инвариантах Лапласа гиперболических уравнений, линеаризуемых дифференциальной подстановкой, Теор. и матем. физ. 120 (2), 237–247 (1999).
14. Жибер А.В., Михайлова Ю.Г. О гиперболических системах уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа, Тр. ИММ УрО РАН 13 (4), 74–83 (2007).
15. Гурьева А.М., Жибер А.В. Инварианты Лапласа двумеризованных открытых цепочек Тоды, Теор. и матем. физ. 138 (3), 401–421 (2004).
16. Старцев С.Я. Структура множества симметрий гиперболических систем лиувиллевского типа и обобщенные инварианты Лапласа, Уфимск. матем. журн. 10 (4), 103–110 (2018).
17. Кушнер А.Г. Контактная линеаризация уравнений Монжа–Ампера и инварианты Лапласа, Докл. РАН 422 (5), 597–600 (2008).
Рецензия
Для цитирования:
Рахмелевич И.В. Об инвариантах Лапласа двумерных нелинейных уравнений второго порядка с однородным полиномом. Известия высших учебных заведений. Математика. 2024;(8):55-64. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-8-55-64
For citation:
Rakhmelevich I.V. On Laplace invariants of two-dimensional nonlinear equations of the second order with homogeneous polynomial. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2024;(8):55-64. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-8-55-64
Просмотров:
115
Послать статью по эл. почте 