В теории Данкла на R n, обобщающей классический гармонический анализ, изучается решение уравнения Клейна–Гордона, определенного следующим образом: Მ²_t u - Δ_ku = - m²u, u(x, 0) = g(x), Მ_tu(x, 0) = f(x), где m > 0, а Მ²_t u — вторая производная решения u по переменной t, Δ_ku — лапласиан Данкла по переменной x, причем f и g — две функции из Ѕ(R ⁿ), задающие начальные условия. Получено интегральное представление для его решения, которое позволяет установить некоторые свойства. В частности, изучаются энергии, связанные с уравнением Данкла–Клейна–Гордона.

Для дробно-временного волнового уравнения с интегральным членом типа сверт­ки изучаются прямая задача Коши и обратная задача по отысканию многомерного ядра интеграла, зависящего, помимо временной переменной, от первых n — 1 компонент простран­ственной переменной x = (x1, x₂,..., x_n) G Rⁿ. При этом известными задач являются данные Коши, задаваемые в момент времени t = 0 и условие переопределения на гиперплоскости x_n = 0. Задачи эквивалентным образом сводятся к задачам, которые являются удобными для дальнейшего изучения. С помощью фундаментального решения дробно-временного вол­нового оператора, которое содержит обобщенную гипергеометрическую функцию Фокса, ре­шение прямой задачи записывается в виде интегрального уравнения вольтерровского типа и изучаются его свойства. Используя результаты решения прямой задачи, решение обратной задачи также представляется как нелинейное интегральное уравнение. К этому уравнению применяется принцип сжимающых отображений и, тем самым, доказывается локальная раз­решимость задачи.

Исследуется обратная задача для уравнения дробной по времени диффузии с начально-краевыми условиями и условиями переопределения. Неизвестными задачи явля­ются переменный коэффициент при младшем члене и источник в уравнении. Для их опре­деления задаются два интегральных условия переопределения. Сначала для прямой задачи устанавливается однозначная разрешимость классического решения с помощью метода Фу­рье, неравенства Гронуолла. Затем, с помощью теоремы о неподвижной точке в банаховом пространстве получены локальное существование и единственность обратной задачи. Для проверки теоретических результатов в работе построено численное решение заданной зада­чи с использованием метода конечных разностей. Наконец, представлен численный пример, показывающий эффективность предложенного метода.

Мшотация. Пусть D — ограниченыая область в Cⁿ (n > 1) с вещественно аналитической связной границей dD = Г. Рассматривается интеграл (интегральный оператор) Бохнера-Мартинелли M(f) для вещественно аналитических функций f на Г. Показано; что интеграл M(f) является вещественно аналитическим вплоть до Г. Рассмотрены итерации интеграла Бохнера-Мартинелли M^k (f). Доказано; что они сходятся к функции; голоморфной в D при k ^ ж. Для аналитических функционалов T определено преобразование БохнераМартинелли M(T)(z). Доказано; что итерации M^k(T)(z) слабо сходятся к CR-функционалу при k ^ ж.

В настоящей работе рассматривается краевая задача для смешанного интегродифференциального уравнения. Доказана однозначная разрешимость поставленной задачи. Для доказательства использован спектральный метод

Расширено множество разрешимых линейных дифференциальных уравнений, выделены случаи, когда можно вычислить решения.

Ведется исследование поведения траекторий решений кусочно-линейных диф­ференциальных уравнений второго порядка. Эти уравнения широко применяются в меха­нике, электротехнике и теории автоматического управления. Особый интерес представляют условия возникновения предельных циклов в окрестности области покоя кусочно-линейного дифференциального уравнения второго порядка с разрывной линией переключения. Уста­новлено, что если область покоя (состоящая из точек покоя) существует, то она остается внутри предельного цикла. Одной из первоочередных задач является определение области покоя, которая возникает на линии сшивания решений. В ходе работы получены новые со­отношения, обеспечивающие ограниченные решения кусочно-линейных уравнений. С исполь­зованием этих новых условий построены фазовые портреты, учитывающие коэффициенты уравнений. Также найдены условия, при выполнении которых область покоя отсутствует. Для решения этих задач был использован метод сшивания решений из двух полуплоскостей.