Задача определения многомерного ядра в диффузионно-волновом уравнении с дробной производной по времени

Для дробно-временного волнового уравнения с интегральным членом типа сверт­ки изучаются прямая задача Коши и обратная задача по отысканию многомерного ядра интеграла, зависящего, помимо временной переменной, от первых n — 1 компонент простран­ственной переменной x = (x1, x₂,..., x_n) G Rⁿ. При этом известными задач являются данные Коши, задаваемые в момент времени t = 0 и условие переопределения на гиперплоскости x_n = 0. Задачи эквивалентным образом сводятся к задачам, которые являются удобными для дальнейшего изучения. С помощью фундаментального решения дробно-временного вол­нового оператора, которое содержит обобщенную гипергеометрическую функцию Фокса, ре­шение прямой задачи записывается в виде интегрального уравнения вольтерровского типа и изучаются его свойства. Используя результаты решения прямой задачи, решение обратной задачи также представляется как нелинейное интегральное уравнение. К этому уравнению применяется принцип сжимающых отображений и, тем самым, доказывается локальная раз­решимость задачи.

1. Kilbas A.A., Srivastava H.M., and Trujillo J.J. Theory and Application of Fractional Differential Equations, North-Holland Math. Stud. 204 (2006).

2. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional order, in : A. Carpinteri and F. Mainardi (Eds): Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, 233–276 (Springer Verlag, Wien and New York, 1997).

3. Schneider W.R., Wyss W. Fractional diffusion and wave equations, J. Math. Phys. 30 (1), 134–144 (1989).

4. Orsingher E., Beghin L. Time-fractional telegraph equations and telegraph processes with brownian time, Probab. Theory Relat. Fields. 128 (1), 141–160 (2004).

5. Mainardi F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation, Appl. Math. Lett. 9 (6), 23–28 (1966).

6. Wyss W. The fractional diffusion equation, J. Math. Phys. 27 (11), 2782–2785 (1986).

7. Fujita Y. Integrodifferential equation which interpolates the heat equation and the wave equation, Osaka J. Math. 27 (2), 309–321 (1990).

8. Mainardi F., Luchko Y., Pagnini G. The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation, Fract. Calc. Appl. Anal. 4 (2), 153–192 (2001).

9. Ворошилов А.А., Килбас А.А. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто, Дифференц. уравнения 42 (5), 599–609 (2006).

10. Atanackovic T.M., Pilipovic S., Zorica D. A diffusion wave equation with two fractional derivatives of different order, J. Phys. A: Math. Theor. 40 (20), 5319–5333 (2007).

11. Durdiev D.K., Shishkina E., and Sitnik S. The explicit formula for solution of anomalous diffusion equation in the multi-dimensional space, Lobachevskii J. Math. 42 (6), 1264–1273 (2021).

12. Sultanov M., Durdiev D.K., and Rahmonov A. Construction of an explicit solution of a time-fractional multidimensional differential equation, Mathematics 9 (17), 2052 (2021).

13. Shogenov V.K., Kumykova S.K., Shkhanukov-Lafishev M.K. The generalized transport equation and fractional derivatives, Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki. (12), 47–54 (1997).

14. Agrawal O.P. Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain, Nonlinear Dynam. (29), 145–155 (2002).

15. Chen J., Liu F., Anh V. Analytical solution for the time-fractional telegraph equation by the method of separating variables, J. Math. Anal. Appl. 338 (2), 1364–1377 (2008).

16. Bazhlekova E. On a nonlocal boundary value problem for the two-term time-fractional diffusion-wave equation, AIP Conf. Proc. 1561 (1), 172–183 (2013).

17. Luchko Y. Maximum principle for the generalized time-fractional diffusion equation, J. Math. Anal. Appl. 351 (1), 218–223 (2009).

18. Al-Refai M., Luchko Y. Maximum principle for the fractional diffusion equations with the Riemann-Liouville fractional derivative and its applications, Fract. Calcul. Appl. Anal. 17 (2), 483–498 (2014).

19. Fedorov V.E., Streletskaya E.M. Initial-value problems for linear distributed-order differential equations in Banach spaces, Elect. J. Diff. Equat. (176), 1–17 (2018).

20. Kochubei A.N. Asymptotic properties of solutions of the fractional diffusion-wave equation, Fract. Calc. Appl. Anal. 17 (3), 881–896 (2014).

21. Псху А.В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка, Изв. РАН. Сер. матем. 73 (2), 141–182 (2009).

22. Kemppainen J. Properties of the single layer potential for the time fractional diffusion equation, J. Int. Equat. Appl. 23 (3), 437–455 (2011).

23. Eidelman S.D., Kochubei A.N. Cauchy problem for fractional diffusion equations, J. Diff. Equat. 199 (2), 211–255 (2004).

24. Kochubei A.N. Cauchy problem for fractional diffusion-wave equations with variable coefficients, Appl. Anal. Int. J. 93 (10), 2211–2242 (2014).

25. Durdiev D.K. Inverse coefficient problem for the time-fractional diffusion equation with Hilfer operator, Math. Methods Appl. Sci. 46 (16), 17469–17484 (2023).

26. Durdiev D.K. Inverse coefficient problem for the time-fractional diffusion equation, Eurasian J. Math. Comput. Appl. 9 (1), 44–54 (2021).

27. Durdiev D.K., Bozorov Z.R., Rahmonov A.A. A two-dimensional diffusion coefficient determination problem for the time-fractional equation, Math. Methods Appl. Sci. 44 (13), 10753–10761 (2021).

28. Дурдиев Д.К. Коэффициентная обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с нехарактеристической линией изменения типа, Изв. вузов. Матем. (3), 38–49 (2024).

29. Дурдиев У.Д. Задача об определении коэффициента реакции в дробном уравнении диффузии, Дифференц. уравнения 57 (9), 1220–1229 (2021).

30. Турдиев Х.Х. Обратные коэффициентные задачи для временно-дробного волнового уравнения с обобщенной производной Римана–Лиувилля по времени, Изв. вузов. Матем. (10), 46–59 (2023).

31. Сафаров Ж.Ш. Обратная задача для неоднородного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа, Вестн. Санкт-Петербургск. ун-та. Матем. Механ. Астрономия 11 (1), 141–151 (2024).

32. Safarov J.Sh., Durdiev D.K. Inverse problem for an integro-differential wave equation in a cylindrical domain, Lobachevskii J. Math. 43 (11), 3271–3281 (2022).

33. Сафаров Ж.Ш. Обратная задача об определении ядра в интегро-дифференциальном уравнении колебаний ограниченной струны, Матем. заметки СВФУ 29 (4), 21–36 (2022).

34. Дурдиев У.Д. Обратная задача об источнике для уравнения вынужденных колебаний балки, Изв. вузов. Матем. (8), 10–22 (2023).

35. Turdiev Kh.Kh. The problem of determining the memory in two-dimensional system of integro-differential Maxwell’s equations, Bullet. Institute Math. 4 (5), 24–39 (2021).

36. Turdiev Kh.Kh. The inverse problem for systems first order integro- differential equations with memory, Scientific reports of Bukhara State Univ. 5 (81), 54–66 (2020).

37. Дурдиев Д.К., Жумаев Ж.Ж. Обратная задача определения ядра интегро-дифференциального уравнения дробной диффузии в ограниченной области, Изв. вузов. Матем. (10), 22–35 (2023).

38. Дурдиев Д.К., Нуриддинов Ж.З. Единственность задачи определения ядра в интегро-дифференциальном параболическом уравнении с переменными коэффициентами, Изв. вузов. Матем. (11), 3–14 (2023).

39. Durdiev D.K. Convolution kernel determination problem for the time-fractional diffusion equation, Phys. D: Nonlinear Phenomena 457, 133959 (2024).

40. Ladyˇzhenskaja O.A., Solonnikov V.A., Uralprime ceva N.N. Linear and Quasi-linear Equations of Parabolic Type, Trans. Math. Monog. Amer. Math. Soc. 23 (1968).

41. Mathai A.M., Saxena R.K., Haubold H.J. The H-function: Theory and Application (New York, Springer, 2010).

42. Псху А.В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка, Изв. РАН. Сер. матем. 73 (2), 141–182 (2009).