Исследование кусочно-линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Ведется исследование поведения траекторий решений кусочно-линейных диф­ференциальных уравнений второго порядка. Эти уравнения широко применяются в меха­нике, электротехнике и теории автоматического управления. Особый интерес представляют условия возникновения предельных циклов в окрестности области покоя кусочно-линейного дифференциального уравнения второго порядка с разрывной линией переключения. Уста­новлено, что если область покоя (состоящая из точек покоя) существует, то она остается внутри предельного цикла. Одной из первоочередных задач является определение области покоя, которая возникает на линии сшивания решений. В ходе работы получены новые со­отношения, обеспечивающие ограниченные решения кусочно-линейных уравнений. С исполь­зованием этих новых условий построены фазовые портреты, учитывающие коэффициенты уравнений. Также найдены условия, при выполнении которых область покоя отсутствует. Для решения этих задач был использован метод сшивания решений из двух полуплоскостей.

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний, Изд. 2 (Физматлиз, 1959).

2. Юмагулов М.Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория и приложения (Москва-Ижевск, 2008).

3. Leine R.I., van Campen D.H. Bifurcation phenomena in non-smooth dynamical systems, European J. Mech. A/Solids 25, 595–616 (2006).

4. Мухамадиев Э.М., Нуров И.Д., Халилова М.Ш. Предельные циклы кусочно-линейных дифференциальных уравнений второго порядка, Уфимск. матем. журн. 6 (1), 84–93 (2014). URL : http://www.mathnet.ru/rus/agreement.

5. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости (Наука, М., 1976).

6. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (Наука, М., 1985).

7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости (Наука, М., 1967).

8. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений (Наука, М., 1966).