Исследуется обратная задача определения коэффициента, зависящего от времени в одномерном уравнении дробного порядка с начально-краевыми условиями и условием переопределения. Методом Фурье задача сводится к эквивалентным интегральным уравнениям. Затем с помощью оценок функции Миттаг-Леффлера и методом последовательных приближений получается оценка решения прямой задачи через норму неизвестного коэффициента, которая будет использоваться при исследовании обратной задачи. Обратная задача сводится к эквивалентному интегральному уравнению Вольтерровского типа. Для решения этого уравнения применяется принцип сжатого отображения. Доказываются результаты локального существования и единственности.

При решении многих вопросов в теории приближенного интегрировании и дифференциальных уравнений именно правильный выбор пространств является залогом успеха. Очень ярко подобранный подход был продемонстрирован в известных работах С.Л. Соболева по полигармоническому уравнению. С.Л. Соболев поставил и решил вариационным методом первую краевую задачу для уравнения ${{\Delta }^{\ell }}u=f$ с граничными условиями на поверхностях различных размерностей.

Проблемы оптимизации формул приближенного интегрирования заключаются в минимизации нормы функционала погрешности формулы на выбранных нормированных пространствах и большинство из них рассмотрены в пространстве Соболева.

До сих пор мы рассматривали кубатурные формулы, при помощи которых приближенно вычисляется определенный интеграл от функции, когда значения этой функции в отдельных точках узлов кубатурной формулы неизвестны. Но возможны более общие кубатурные формулы, в которые входят как значения функции, так и значения ее производных того или иного порядка.

Если нам известны не только значения функции в некоторых точках $n$-мерной единичной сферы, но и значения ее производных того или иного порядка, то естественно, что при правильном использовании всех этих данных, мы можем ожидать более точный результат, чем в случае использования только значений функции.

В настоящей работе рассматриваются кубатурные формулы, которые требуют особого внимания к построению наиболее экономных формул; по выражению Н.С. Бахвалова такие формулы называются практичными.

Рассмотрена однородная задача линейного сопряжения на замкнутом контуре для двумерного кусочно-аналитического вектора. Каждому ее решению ставится в соответствие пара функций, являющихся отношениями предельных значений на контуре соответствующих компонент этого решения. Указаны соотношения, связывающие элементы $H$-непрерывной матрицы-функции задачи, обеспечивающие существование двух ее решений, для которых соответствующие компоненты пары отличаются рациональными множителями, а сама задача допускает решение в замкнутой форме.

В статье рассматриваются два подхода к определению вычислимости нумераций семейств всюду определенных функций. Рассматривается как классическое определение вычислимой нумерации семейства вычислимых функций, согласно которому по номеру функции в этой нумерации эффективно определяется ее геделевский номер, так и расширяющее предыдущее определение, основанное на равномерном применении понятия вычислимо перечислимого слева элемента бэровского пространства. Основной вопрос, исследуемый в статье, заключается в возможности порождения всех вычислимых нумераций семейства замыканием относительно сводимости бесконечных прямых сумм равномерных последовательностей его однозначных, позитивных и минимальных нумераций.

Системы криволинейных труб широко используются в машиностроении, атомной промышленности, морской нефтедобыче, аэрокосмической технике. Целью работы является исследование малых колебаний вязкоупругой спиральной пружины. Малые колебания тонкого криволинейного стержня, упругая линия которого является плоской кривой и одна из главных направлений поперечного сечения которой лежит в плоскости кривой, распадаются на два вида: колебания со смещениями в плоскости кривой и со смещениями, перпендикулярными плоскости кривой. Вязкоупругие свойства материалов учитываются с помощью комплексных модулей упругости. Построены асимптотические разложения для собственных функций и собственных частот, соответствующих обоим видам колебаний многократно закрученной плоской спиральной пружины с закрепленными концами. Разработана методика получения разрешающих уравнений, соответствующих граничным условиям.

Пусть $\mathfrak{P}$~--непустое множество простых чисел. Доказано, что любая $\mathfrak{P}$\nobreakdash-ог\-ра\-ни\-чен\-ная нильпотентная группа является $\mathfrak{P}$\nobreakdash-мощ\-ной и~древесное произведение конечного числа $\mathfrak{P}$\nobreakdash-ог\-ра\-ни\-чен\-ных нильпотентных групп с~собственными локально циклическими реберными подгруппами аппроксимируется конечными $\mathfrak{P}$\nobreakdash-груп\-па\-ми тогда и~только тогда, когда каждая его вершинная группа не~имеет $\mathfrak{P}^{\prime}$\nobreakdash-кру\-че\-ния и~каждая реберная подгруппа $\mathfrak{P}^{\prime}$\nobreakdash-изо\-ли\-ро\-ва\-на в~содержащей ее вершинной группе. Также доказано, что древесное произведение конечного числа групп с~локально циклическими реберными подгруппами аппроксимируется конечными $p$\nobreakdash-груп\-па\-ми, если этим свойством обладают все его вершинные группы и~любая реберная подгруппа отделима в~соответствующей вершинной группе классом конечных $p$\nobreakdash-групп.

Изучается семейство многопараметрических полиномиальных дифференциальных систем степени 11. Доказано, что рассматриваемое семейство имеет инвариантную алгебраическую кривую, заданную в явной форме. Мы демонстрируем интегрируемость этих систем и выводим явное выражение для первого интеграла. Кроме того, представлены достаточные условия для существования двух предельных циклов, заданных явно. Применимость наших результатов иллюстрируется конкретным примером.

Типичной задачей приближения является задача интерполяции. Классический метод ее решения состоит в построении интерполяционного многочлена. Однако многочлены обладают рядом недостатков, как аппарат приближения функций с особенностями и функций с не слишком большой гладкостью. На практике для того, чтобы хорошо приблизить функции, вместо построения интерполяционного полинома высокой степени используют сплайны, которые очень удобны в применении.

В данной работе исследуется построение интерполяционных сплайнов с использованием метода Соболева, минимизирующих норму в одном гильбертовом пространстве.

Впервые С.Л. Соболевым (\textquotedblleftВведение в теорию кубатурных формул\textquotedblright\ (Наука, М., 1974)) была поставлена задача нахождения экстремальной функции для интерполяционной формулы и вычисления нормы функционала погрешности в пространстве Соболева.

Приведены представление экстремальной функции и норма функционала погрешности интерполяционной формулы в явном виде в пространстве Соболева $W_{2}^{\left( m \right)}\left( {{R}^{n}} \right)$, т.\,е. функция у которой обобщенные производные порядка $m$ интегрируемы с квадратом. В основном рассматривается задача построения оптимальных интерполяционных формул в пространстве С.Л. Соболева $\tilde{W}_{2}^{\left( m \right)}\left( {{T}_{1}} \right)$ при $m=4$.

Решается ряд экстремальных задач, связанных с наилучшим полиномиальным приближением аналитических в круге $U:=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$ функций, принадлежащих пространству Бергмана $B_2$. Доказано двустороннее неравенство, являющееся обобщением результата М.Ш.\,Шабозова--Г.А.\,Юсупова, полученного для класса $L_{2}^{(r)}[0,2\pi]$-периодических функций $f\in L_{2}$, у которых $(r-1)$-я производная $f^{(r-1)}$ абсолютно непрерывна, а производная $r$-го порядка $f^{(r)}\in L_{2}$ на случай полиномиального приближения $f\in \mathcal{A}(U)$, принадлежащих $B_{2}^{(r)}(U)$.

Приведен ряд случаев, когда двустороннее неравенство обращается в равенство. Для некоторых классов функций, принадлежащих $B_2$, найдены точные значения известных $n$-попереч\-ников и решена задача совместного приближения функций и их промежуточных производных.