О наилучшем полиномиальном приближении аналитических функций в пространстве бергмана B2

Решается ряд экстремальных задач, связанных с наилучшим полиномиальным приближением аналитических в круге $U:=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$ функций, принадлежащих пространству Бергмана $B_2$. Доказано двустороннее неравенство, являющееся обобщением результата М.Ш.\,Шабозова--Г.А.\,Юсупова, полученного для класса $L_{2}^{(r)}[0,2\pi]$-периодических функций $f\in L_{2}$, у которых $(r-1)$-я производная $f^{(r-1)}$ абсолютно непрерывна, а производная $r$-го порядка $f^{(r)}\in L_{2}$ на случай полиномиального приближения $f\in \mathcal{A}(U)$, принадлежащих $B_{2}^{(r)}(U)$.

Приведен ряд случаев, когда двустороннее неравенство обращается в равенство. Для некоторых классов функций, принадлежащих $B_2$, найдены точные значения известных $n$-попереч\-ников и решена задача совместного приближения функций и их промежуточных производных.

1. Pinkus А. n-Widths in Approximation Theory (Springer, Berlin, 1985).

2. Фарков Ю.А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из BbbC n, УМН 45 (5), 197–198 (1990).

3. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций, Матем. заметки 57 (1), 30–39 (1995).

4. Вакарчук С.Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках некоторых классов аналитических функций, Матем. заметки 65 (2), 186–193 (1999).

5. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближении некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана frakB 2,gamma , Докл. РАН 412 (4), 466–469 (2007).

6. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге, Матем. сб. 201 (8), 3–22 (2010).

7. Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье функций комплексной переменной в пространстве L2(D, p(z)), Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 50 (6), 999–1004 (2010).

8. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L2 некоторых классов 2pi периодических функций и точные значения их поперечников, Матем. заметки 90 (5), 764–775 (2011).

9. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Верхние грани приближения некоторых классов функций комплексной переменной рядами Фурье в пространстве L2 и значения n-поперечников, Матем. заметки 103 (4), 617–631 (2018).

10. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Среднеквадратическое приближение функций комплексного переменного суммами Фурье по ортогональным системам, Тр. ИММ УрО РАН 25 (2), 258–272 (2019).

11. Шабозов М.Ш., Хуромонов Х.М. О наилучшем приближении в среднем функций комплексного переменного рядами Фурье в пространстве Бергмана, Изв. вузов. Матем. (2), 74–92 (2020).

12. Хуромонов Х.М. Точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и усредненными нормами конечных разностей в пространстве B2 и поперечники некоторых классов функций, Изв. вузов. Матем. (3), 61–70 (2022).

13. Шабозов М.Ш. О наилучшем совместном приближении функций в пространстве Бергмана B2, Матем. заметки 114 (3), 435–446 (2023).

14. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного (Наука, М. Л., 1964).

15. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений (МГУ, М., 1976).