О нахождении коэффициентов оптимальной интерполяционной формулы в пространстве С.Л. Соболева Ŵ(m) (T1)

Типичной задачей приближения является задача интерполяции. Классический метод ее решения состоит в построении интерполяционного многочлена. Однако многочлены обладают рядом недостатков, как аппарат приближения функций с особенностями и функций с не слишком большой гладкостью. На практике для того, чтобы хорошо приблизить функции, вместо построения интерполяционного полинома высокой степени используют сплайны, которые очень удобны в применении.

В данной работе исследуется построение интерполяционных сплайнов с использованием метода Соболева, минимизирующих норму в одном гильбертовом пространстве.

Впервые С.Л. Соболевым (\textquotedblleftВведение в теорию кубатурных формул\textquotedblright\ (Наука, М., 1974)) была поставлена задача нахождения экстремальной функции для интерполяционной формулы и вычисления нормы функционала погрешности в пространстве Соболева.

Приведены представление экстремальной функции и норма функционала погрешности интерполяционной формулы в явном виде в пространстве Соболева $W_{2}^{\left( m \right)}\left( {{R}^{n}} \right)$, т.\,е. функция у которой обобщенные производные порядка $m$ интегрируемы с квадратом. В основном рассматривается задача построения оптимальных интерполяционных формул в пространстве С.Л. Соболева $\tilde{W}_{2}^{\left( m \right)}\left( {{T}_{1}} \right)$ при $m=4$.

1. Holladay J.C. Smoothest curve approximation, Math. Tables Aids Comput. 11, 223–243 (1957).

2. de Boor C. Best approximation properties of spline functions of odd degree, J. Math. Mech. 12, 747–749 (1963).

3. Ahlberg J.H., Nilson E.N., Walsh J.L. The Theory of Splines and Their Applications (Academic Press, New York, 1967).

4. Arcangeli R., de Silanes M. C.L., and Torrens J.J. Multidimensional Minimizing Splines (Springer, Boston, 2004).

5. Berlinet A., Thomas-Agnan C. Reproducing Kernel Hilbert Spaces in Probability and Statistics (Springer, Boston, 2004).

6. Игнатов М.И., Певный А.Б. Натуральные сплайны многих переменных (Наука, Л., 1991).

7. Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун А.А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов (Наукова Думка, Киев, 1992).

8. Лоран П.Ж. Аппроксимация и оптимизация (Мир, М., 1975).

9. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике (Наука, М., 1976).

10. Шадиметов Х.М., Маматова Н.Х. Составные кубатурные формулы на решетке, Изв. вузов. Матем. (11), 59–74 (2023).

11. Шадиметов Х.М., Маматова Н.Х. О задаче оптимального интерполирования функций, Изв. вузов. Матем. (12), 59–70 (2023).

12. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул (Наука, М., 1974).

13. Шадиметов Х.М., Маматова Н.Х. Об одной интерполяционной задаче в пространстве Cоболева, Узбекск. матем. журн. (3), 180–186 (2009).

14. Жалолов Ик.И. Алгоритм построения дискретного аналога D3 [beta ] одного оператора, Пробл. вычисл. и прикл. матем. 2, 48–52 (2015).

15. Жалолов О.И., Хаятов Х.У. Алгоритм построения оптимальной интерполяционной формулы в пространстве С.Л.Соболева W~ (m) (T1), Пробл. вычисл. и прикл. матем. (1), 47–59 (2023).