В статье рассматриваются разложения для нильпотентных алгебр Ли и нильпотентных групп Ли и связи между ними. Также даны описания несократимых транзитивных действий нильпотентных групп Ли на плоскости и на трехмерном пространстве.

Пусть \phi \in S , \int \phi (x) dx = 1, определим \phi t(x) = 1 tn \phi \Bigl( x t \Bigr) и обозначим семейство функций \{ \phi t \ast f(x)\} t>0 через \Phi \ast f(x). Пусть также \scrJ — подмножество \BbbR (или, более общо, упорядоченное множество индексов) и существует константа C1 такая, что \sum t\in \scrJ \bigm| \bigm| \^\phi t(x) \bigm| \bigm| 2 < C1 для всех x \in \BbbR n. Тогда i) существует константа C2 > 0 такая, что \| V2(\Phi \ast f)\| Lp \leq C2\| f\| Hp, n n + 1 < p \leq 1, для всех f \in Hp(\BbbR n), n n + 1 < p \leq 1; ii) оператор \lambda -скачка N\lambda (\Phi \ast f) удовлетворяет условию \bigm\| \bigm\| \lambda [N\lambda (\Phi \ast f)]1/2\bigm\| \bigm\| Lp \leq C3\| f\| Hp, n n + 1 < p \leq 1, равномерно по \lambda > 0 при некоторой постоянной C3 > 0.

Используя формулу общего решения разностного уравнения с постоянными коэффициентами, показано, что во множестве решений этого уравнения содержатся классические решения типа k^m\λ^k. Найдены необходимые и достаточные условия, налагаемые на коэффициенты уравнения и начальные параметры, при которых получаются такие решения.

Рассматривается семейство ограниченных самосопряженных матричных операторов (обобщенных моделей Фридрихса), действующих на прямую сумму одночастичных и двухчастичных подпространств пространства Фока. Получены условия существования собственных значений матричных операторов.

Для многочлена P(z) = n \sum j=0 cjzj степени n, все нули которого находятся в | z| \leq k, k \geq 1, В. Джейн в работе “On the derivative of a polynomial”, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie Tome 59, 339–347 (2016) доказал, что max | z| =1 | P \prime (z)| \geq n \biggl( | c0| + | cn| kn+1 | c0| (1 + kn+1) + | cn| (kn+1 + k2n) \biggr) max | z| =1 | P(z)| . Мы уточняем это неравенство и связанные с ним результаты для многочленов степени n \geq 2.

Тематика исследования данной работы находится на стыке теории показателей Ляпунова и теории колеблемости. Изучаются спектры (т. е. множества различных значений на ненулевых решениях) показателей колеблемости знаков (строгих и нестрогих), нулей, корней и гиперкорней линейных однородных дифференциальных уравнений с непрерывными на положительной полуоси коэффициентами. В первой части работы конструктивно построено дифференциальное уравнение третьего порядка, обладающая тем свойством, что ее спектры всех верхних и нижних сильных и слабых показателей колеблемости строгих и нестрогих знаков, нулей, корней и гиперкорней содержат счетное множество различных существенных значений, причем как метрически, так и топологически. Более того, все эти значения реализованы на одной и той же последовательности решений построенного уравнения, т. е. для каждого решения из этой последовательности все перечисленные выше показатели колеблемости совпадают между собой. При построении указанного уравнения и доказательстве требуемых результатов использованы аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений и методы теории возмущений решений линейных дифференциальных уравнений, в частности, авторская методика управления фундаментальной системой решений таких уравнений в одном частном случае. Во второй части работы доказано существование дифференциального уравнения третьего порядка с континуальными спектрами показателей колеблемости. При этом спектры всех показателей колеблемости заполняют один и тот же отрезок числовой оси с наперед заданными произвольными положительными несоизмеримыми концами. Оказалось, что для каждого решения построенного уравнения все показатели колеблемости совпадают между собой. Полученные результаты носят теоретический характер, они расширяют наши представления о возможных спектрах показателей колеблемости линейных однородных дифференциальных уравнений.

В работе исследуются достаточные условия абсолютной сходимости тригонометрических рядов Фурье почти периодических в смысле Безиковича функций в случае, когда показатели Фурье имеют единственную предельную точку в бесконечности. В качестве структурной характеристики рассматриваемой функции используется модуль непрерывности высшего порядка.

Baillie PSW-гипотеза была сформулирована в 1980 году и получила название по именам авторов (R. Baillie, C. Pomerance, J. Selfridge и S.Wagstaff). Гипотеза связана с проблемой существования нечетных чисел n \equiv \pm 2 (mod 5), являющихся одновременно Фермаи Лукас-псевдопростыми (кратко, FL-псевдопростыми). Ферма псевдопростым по базе a называется составное число n, удовлетворяющее условию an 1 \equiv 1 (mod n). База a выбирается равной 2. Псевдопростое по Лукасу это составное n, удовлетворяющее Fn e(n) \equiv 0 (mod n), где e(n) — символ Лежандра e(n) = \bigl( n 5 \bigr) , Fm — m-й член ряда Фибоначчи. Согласно Baillie PSW-гипотезе FL-псевдопростых чисел не существует. Если гипотеза верна, то комбинированный тест простоты, проверяющий условия Ферма и Лукаса для нечетных чисел, не делящихся на 5, дает верный ответ для всех чисел вида n \equiv \pm 2 (mod 5), что порождает новый детерминированный полиномиальный тест простоты, определяющий простоту шестидесяти процентов всех нечетных чисел всего за две проверки. В этой работе мы продолжили исследование FL-псевдопростых чисел, начатое в нашей статье ”Об одном комбинированном тесте простоты”, опубликованной в журнале ”Изв. вузов. Матем.” (12) за 2022, установили новые ограничения на вероятные FL-псевдопростые числа и описали новые алгоритмы проверки FL-простоты, с помощью которых доказали отсутствие таких чисел до границы B = 1021, что больше, чем в тридцать раз превышают известную ранее границу 264, найденную J. Gilchrist 2013 году. Также была исправлена неточность в
формулировке теоремы 4 упомянутой статьи.

В данной работе мы исследуем разрешимость расширений логики первого порядка. Например, в работах А. С. Золотова показано, что логика с унарным оператором транзитивного замыкания для теории следования является разрешимой. Мы показываем, что в аналогичной ситуации логика с унарным оператором частичной неподвижной точки разрешимой не является. Для этого мы сводим проблему остановки счетчиковой машины к проблеме истинности формулы. При этом используется только один оператор частичной неподвижной точки, он является унарным, невложенным и применяется к универсальной или экзистенциальной формуле.