В статье речь идет о поведении суммы ряда Дирихле F(s)=\sum n ane\lambda ns, 0<\lambda n \uparrow \infty,абсолютно сходящегося в левой полуплоскости \Pi 0, на кривой \gamma , произвольным образом приближающейся к мнимой оси — границе этой полуплоскости. Нами получено решение следующей задачи: при каких условиях на \gamma будет справедливо усиленное асимптотическое соотношение типа Полиа для суммы F(s) ряда Дирихле, т. е. когда аргумент s стремится к мнимой оси вдоль \gamma по достаточно массивному множеству.

Получены наилучшие оценки погрешности приближения функций, заданных на конечном отрезке, алгебраическими многочленами и кусочно-полиномиальными функциями в случае, когда погрешности измеряются в нормах пространства Соболева или Бесова. Указаны весовые пространства Бесова, для функций которых справедливы неравенства типа Джексона и Бернштейна и, как следствие, справедливы прямые и обратные теоремы аппроксимации. В ряде случаев указаны точные константы в оценках.

В работе изучается поведение ограниченных решений неоднородного уравнения Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях при вариации правой части уравнения. Различные задачи для однородных эллиптических уравнений, в частности уравнения Лапласа–Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера, рассматривались рядом российских и зарубежных авторов начиная со второй половины XX-го века. В первой части данной работы будет развит подход к постановке краевых задач, основанный на введении классов эквивалентных функций, установлена взаимосвязь разрешимости краевых задач на произвольном некомпактном римановом многообразии при вариации неоднородности. Во второй части работы, основываясь на результатах первой части, исследуются свойства решений неоднородного уравнения Шрёдингера на квазимодельных многообразиях, а также найдены точные условия однозначной разрешимости задачи Дирихле и некоторых других краевых задач на данных многообразиях.

Исследуется разрешимость краевой задачи для системы пяти нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка при заданных нелинейных граничных условиях, описывающей состояние равновесия упругих пологих неоднородных изотропных оболочек с незакрепленными краями в рамках сдвиговой модели Тимошенко, отнесенных к изометрическим координатам. Краевая задача сводится к нелинейному операторному уравнению относительно обобщенных перемещений в соболевском пространстве, разрешимость которого устанавливается с использованием принципа сжатых отображений.

Рассматриваются максимальные операторы, связанные с сингулярными гиперповерхностями в многономерных евклидовых пространствах. Доказана ограниченность этих операторов и найден показатель ограниченности в пространстве суммируемых функций, когда гиперповерхности задаются параметрическими уравнениями.

Дано существенно более простое чем в [1] решение задачи В. Бляшке: перечислить все регулярные три-ткани, образованные пучками окружностей.