Определяются $(s,t)$-последовательности Ферма и Ферма–Люка. Для таких последовательностей приводится множество свойств, таких как характеристическое уравнение и формулы Бине. Получены соотношения между этими последовательностями. Найдены различные представления для нахождения членов этих последовательностей. Показана связь между положительными и отрицательными членами последовательностей и получено соотношение между тремя последовательными членами. Представлены порождающие функции и формулы сумм для этих последовательностей. Кроме того, вычислены специальные тождества для этих последовательностей, такие как тождество Каталана, Мелхэма,   Оканя и другие. Исследованы связи $(s,t)$-последовательности Ферма с последовательностями Фибоначчи, Пелля, Якобсталя, Орезма и с балансирующей последовательностью, а также связи $(s,t)$-последовательности Ферма-Люка   с последовательностями Люка, Пелля–Люка, Якобсталя–Люка, Орезма–Люка и  с балансирующей последовательностью Люка. Более того, предложено применение $(s,t)$-последовательностей Ферма и Ферма–Люка к гиперболическим кватернионам. Определены гиперболические $(s,t)$-кватернионы Ферма и Ферма–Люка. Для этих гиперболических кватернионов приведено множество свойств, таких как формулы Бине. Наконец, члены $(s,t)$-последовательностей Ферма и Ферма–Люка ассоциированы со значениями гиперболических кватернионов.

Рассматривается некоторая смешанная область для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с различными порядками вырождения и сингулярными коэффициентами, доказываются теоремы единственности и существования решения задачи с условием типа условия В.И. Жегалова и А.М. Нахушева на внутренних характеристиках и аналогом условия Ф.И. Франкля на отрезке вырождения. На границе области эллиптичности задается условие Дирихле.

Исследованы вопросы априорной оценки и существования  $\omega$-периодических решений для системы нелинейных  обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка  с главной положительно однородной нелинейной частью.  Учитывая явную структуру множества нулей главной нелинейной  части и развивая  ранее примененные авторами методы, найдены новые условия, обеспечивающие априорную оценку  $\omega$-периодических решений. В условиях априорной оценки сформулирован и доказан критерий существования  $\omega$-периодических решений. В доказательстве использовано свойство инвариантности    существования  $\omega$-периодических решений при непрерывном изменении главной  нелинейной части и применены методы вычисления вращения векторных полей.

Рассматривается бесконечно длинный круговой цилиндр, состоящий в общем случае из произвольного числа коаксиальных вязко-упругих слоев, окруженный вязко-упругой  средой. Предполагается, что слоистый пакет представляет собой толстостенные и тонкостенные слои цилиндра. При описании движения тонкостенных элементов используются уравнения теории таких оболочек, в основу которых положены гипотезы Кирхгофа–Лява. Для тонкостенных слоев исходными являются уравнения линейной теории упругости. Поставленная задача решается методом Грина–Лэмба. Потенциалы перемещений определяются из решений уравнения Гельмгольца. Произвольные постоянные определяются из граничных условий, которые ставятся между телами. В результате поставленная задача сводится к системе неоднородных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами, которая решается методом Гаусса с выделением главного элемента. Получены аналитические выражения динамических перемещений и напряжений слоев и окружающей среды через специальные функции Бесселя и Ханкеля. Найдено, что при $R_1/r_0>50$  воздействие цилиндрического источника раскладывается как плоская волна, т.е. можно не учитывать радиус кривизны волны.

Операторы Роты–Бакстера на алгебре многочленов начали изучать С.Х. Женг, Л. Гуо и М. Розенкранц в 2015 году.  Инъективные операторы Роты–Бакстера нулевого веса на $F[x]$ были описаны в 2021 году.  Мы описываем следующие классы мономиальных операторов Роты–Бакстера нулевого веса  на алгебре многочленов $F[x, y]$ и ее идеале $F_0[x, y]$:  1) не повышающие степень с ядром, не содержащим мономов,  2) отображающие каждый моном в себя с некоторым коэффициентом.  Для таких классов операторов мы показываем, как можно задать  мономиальный оператор усреднения по данному оператору Роты–Бакстера и наоборот.

В рамках категорного подхода к понятию универсальной $C^*$-алгебры, который был предложен и развит Лорингом, рассматриваются категории, называемые $C^*$-соотношениями. Для заданного множества  $X$ объектами $C^*$-соотношения  на $X$  являются  функции из  $X$ в $C^*$-алгебры, а морфизмами служат $\ast$-гомоморфизмы $C^*$-алгебр, делающие соответствующие треугольные диаграммы коммутативными. При этом объекты и морфизмы $C^*$-соотношения должны удовлетворять ряду естественных аксиом. $C^*$-соотношение, определяющее универсальную $C^*$-алгебру, называется компактным. Данная статья посвящена функторам между $C^*$-соотношениями, заданными, вообще говоря, на различных множествах. Показывается, что каждый  функтор между компактными $C^*$-соотношениями  с точностью до изоморфизмов категорий является функтором между компактными $\ast$-полиномиальными соотношениями на одном и том же множестве $X$. Используя идеалы в алгебрах инволютивных многочленов, мы строим важный класс так называемых функторов факторизации между $C^*$-соотношениями. Для изучения свойств этих функторов вводится понятие мягкого образа произвольного функтора и устанавливается критерий принадлежности объекта категории мягкому образу.