(s, t)-последовательности Ферма, Ферма–Люка и их приложения к гиперболическим кватернионам

Определяются $(s,t)$-последовательности Ферма и Ферма–Люка. Для таких последовательностей приводится множество свойств, таких как характеристическое уравнение и формулы Бине. Получены соотношения между этими последовательностями. Найдены различные представления для нахождения членов этих последовательностей. Показана связь между положительными и отрицательными членами последовательностей и получено соотношение между тремя последовательными членами. Представлены порождающие функции и формулы сумм для этих последовательностей. Кроме того, вычислены специальные тождества для этих последовательностей, такие как тождество Каталана, Мелхэма,   Оканя и другие. Исследованы связи $(s,t)$-последовательности Ферма с последовательностями Фибоначчи, Пелля, Якобсталя, Орезма и с балансирующей последовательностью, а также связи $(s,t)$-последовательности Ферма-Люка   с последовательностями Люка, Пелля–Люка, Якобсталя–Люка, Орезма–Люка и  с балансирующей последовательностью Люка. Более того, предложено применение $(s,t)$-последовательностей Ферма и Ферма–Люка к гиперболическим кватернионам. Определены гиперболические $(s,t)$-кватернионы Ферма и Ферма–Люка. Для этих гиперболических кватернионов приведено множество свойств, таких как формулы Бине. Наконец, члены $(s,t)$-последовательностей Ферма и Ферма–Люка ассоциированы со значениями гиперболических кватернионов.

1. Aydimath nyu¨z S., A¸scimath M. The Moore–Penrose inverse of the rectangular Fibonacci matrix and applications to the Cryptology, Adv. and Appl. Discrete Math. 40 (2), 195–211 (2023).

2. Turner H.A., Humpage M., Kerp H., Hetherington A.J. Leaves and sporangia developed in rare non-Fibonacci spirals in early leafy plants, Science 380 (6650), 1188–1192 (2023).

3. Avazzadeh Z., Hassani H., Agarwal P., Mehrabi S., Javad Ebadi M., Hosseini M. K. Optimal study on fractional fascioliasis disease model based on generalized Fibonacci polynomials, Math. Meth. Appl. Sci. 46 (8), 9332–9350 (2023).

4. Otto H.H. Fibonacci Stoichiometry and Superb Performance of Nb16W5O55 and Related Super-Battery Materials, J. Appl. Math. Phys. 10 (6), 1936–1950 (2022).

5. Akku¸s H., Kulog˘lu B., Ozkan E.¨ Analytical Characterization of Self-Similarity in k-Cullen Sequences Through Generating Functions and Fibonacci Scaling, Fractal and Fractional 9 (6), 380 (2025).

6. Ozkan E., Akku¸s H.¨ On Generalizations of Dickson k-Fibonacci Polynomials, Wseas Transactions on Math. 23 (88), 856–862 (2024).

7. Soykan Y. On Generalized Fibonacci Polynomials: Horadam Polynomials, Earthline J. Math. Sci. 11 (1), 23–114 (2023).

8. Ozkan E., Akku¸s H.¨ Generalized Bronze Leonardo sequence, Notes on Number Theory and Discrete Math. 30 (4), 811–824 (2024).

9. Soykan Y. Generalized Leonardo Numbers, J. Progressive Research Math. 18 (4), 58–84 (2021).

10. Akku¸s H., Ozkan E.¨ Copper Fibonacci, Copper Lucas polynomials and their some special transformations and hyperbolic quaternions, Proc. Indian National Sci. Acad. 92 (4), 213–226 (2026).

11. Akku¸s H., Ozkan E.¨ A note on Edouard Sequence, J. Sci. and Arts 25 (2), 337–348 (2025).

12. Bravo J.J., Herrera J.L., Luca F. On a generalization of the Pell sequence, Math. Bohemica 146 (2), 199–213 (2021).

13. Berczes A., Liptai K., Pink I. On Generalized Balancing Sequences, The Fibonacci Quarterly 48 (2), 121–128 (2010).

14. Akku¸s H., Ozkan E.¨ A new approach to Olivier sequences, Math. Montisnigri 61, 14–25 (2024).

15. Ozkan E., S¸en B., Akku¸s H., Uysal M.¨ A Study on the k-Mersenne and k-Mersenne–Lucas Sequences, Universal J. Math. Appl. 8 (1), 1–7 (2025).

16. Soykan Y. A Study on Generalized Jacobsthal–Padovan Numbers, Earthline J. Math. Sci. 4 (2), 227–251 (2020).

17. Altimath parmak I., Akku¸s H.,˙ Ozkan E.¨ On a generalization of the perfect square sequence and its polynomial, Math. Montisnigri 62 (5), 64–77 (2025).

18. Soykan Y. Generalized Oresme Numbers, Earthline J. Math. Sci. 7 (2), 333–367 (2021).

19. Ozkan E., Akku¸s H.¨ Copper ratio obtained by generalizing the Fibonacci sequence, AIP Adv. 14 (7), 1–11 (2024).

20. Ozkan E., Akku¸s H.¨ A New Approach to k-Oresme and k-Oresme–Lucas Sequences, Symmetry 16 (11), 1–12 (2024).

21. Koshy T. Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, V. 2 (John Wiley & Sons, New Jersey, 2019).

22. Akku¸s H., Deveci O.,¨ Ozkan E., Shannon A. G.¨ Discatenated and lacunary recurrences, Notes Number Theory Discrete Math. 30 (1), 8–19 (2024).

23. Khan S.A. Trigonometric ratios using geometric methods, Adv. Math. Sci. J. 9 (10), 8685–8702 (2020).

24. Samandari N., Nazari N.M., Olfat J.A., Rafi R., Azizi Z., Ulfat W.I. Applications of Fermat’s Little Theorem, Turkish J. Comp. Math. Education 14 (3), 209–215 (2023).

25. Vavilov N.A. Computers As a Novel Mathematical Reality: III. Mersenne Numbers and Sums of Divisors, In Dokl. Math. 107 (3), 173–204 (2023).

26. Hong S., Arthanto Y.F., Kim J.-Y. Accelerating Deep Convolutional Neural Networks Using Number Theoretic Transform, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers 70 (1), 315–326 (2023).

27. Yazlik Y., Taskara N., Uslu K., Yilmaz N. The Generalized (s,t)-Sequence and its Matrix Sequence, AIP Conf. Proc. 1389 (1), 381–384 (2011).

28. Ipek A., Ari K., Tu¨rkmen R. The Generalized (s,t)-Fibonacci and Fibonacci matrix sequences, Transylvanian J. Math. Mech. 7 (2), 137–148 (2015).

29. Srisawat S., Sriprad W. On the (s,t)-Pell and (s,t)-Pell–Lucas polynomials, Progress in Appl. Sci. and Technology 11 (2), 22–25 (2021).

30. Uygun S. The (s,t)-Jacobsthal and (s,t)-Jacobsthal Lucas sequences, Appl. Math. Sci. 70 (9), 3467–3476 (2015).

31. Tinkham M. Group Theory and Quantum Mechanics (Courier Corporation, New York, 2003).

32. Cariow A., Cariowa G., Majorkowska-Mech D. An algorithm for quaternion-based 3D rotation, Int. J. Appl. Math. and Comput. Sci. 30 (1), 149–160 (2020).

33. Goldstein H., Poole C., Safko J. Classical mechanics (Addison-Wesley, San Francisco, 1980).

34. Fritzer H.P. Molecular symmetry with quaternions, Spectrochimica Acta P. A: Molecular and Biomolecular Spectroscopy 57 (10), 1919–1930 (2001).

35. Diebel J. Representing Attitude: Euler Angles, Unit Quaternions, and Rotation Vectors, Matrix 58 (15–16), 1–35 (2006).

36. Horadam A.F. Complex Fibonacci Numbers and Fibonacci Quaternions, Amer. Math. Monthly 70 (3), 289– 291 (1963).

37. Macfarlane A. Hyperbolic quaternions, Proc. Royal Society of Edinburgh 23 (1902), 169–180 (2014).

38. Ozkan E., Akku¸s H.,¨ Ozkan A.¨ Properties of Generalized Bronze Fibonacci Sequences and Their Hyperbolic Quaternions, Axioms 14 (1), 14 (2024).

39. Di¸skaya O., Menken H., Catarino P.M.M.C. On the Hyperbolic Leonardo and Hyperbolic Francois Quaternions, J. New Theory 42, 74–85 (2023).

40. Akku¸s H., Ozkan E.¨ Generalization of the k-Leonardo sequence and their hyperbolic quaternions, Math. Montisnigri 60, 14–31 (2024).

41. Yag˘mur T. A note on hyperbolic (p,q)-Fibonacci quaternions, Commun. Fac. Sci. Univ. Ank., Ser. A1 Math. Stat. 69 (1), 880–890 (2020).

42. Da¸sdemir A. On hyperbolic Lucas quaternions, Ars Combinatoria 150, 77–84 (2020).

43. Ozkan E., Akku¸s H.¨ Hyperbolic k-Oresme and k-Oresme–Lucas Quaternions, Proof 4, 141–149 (2024).

44. Akku¸s H., Ozkan E.¨ Hyperbolic (s,t)-Fibonacci and (s,t)-Lucas Quaternions, Proof 4, 97–105 (2024).

45. Deveci O., Shannon A. G.¨ The quaternion-Pell Sequence, Commun. Algebra 46 (12), 5403–5409 (2018).