Функторы между C*-соотношениями

В рамках категорного подхода к понятию универсальной $C^*$-алгебры, который был предложен и развит Лорингом, рассматриваются категории, называемые $C^*$-соотношениями. Для заданного множества  $X$ объектами $C^*$-соотношения  на $X$  являются  функции из  $X$ в $C^*$-алгебры, а морфизмами служат $\ast$-гомоморфизмы $C^*$-алгебр, делающие соответствующие треугольные диаграммы коммутативными. При этом объекты и морфизмы $C^*$-соотношения должны удовлетворять ряду естественных аксиом. $C^*$-соотношение, определяющее универсальную $C^*$-алгебру, называется компактным. Данная статья посвящена функторам между $C^*$-соотношениями, заданными, вообще говоря, на различных множествах. Показывается, что каждый  функтор между компактными $C^*$-соотношениями  с точностью до изоморфизмов категорий является функтором между компактными $\ast$-полиномиальными соотношениями на одном и том же множестве $X$. Используя идеалы в алгебрах инволютивных многочленов, мы строим важный класс так называемых функторов факторизации между $C^*$-соотношениями. Для изучения свойств этих функторов вводится понятие мягкого образа произвольного функтора и устанавливается критерий принадлежности объекта категории мягкому образу.

1. Blackadar B. Shape theory for Cast -algebras, Math. Scand. 56, 249–275 (1985).

2. Loring T.A. Cast -algebra relations, Math. Scand. 107 (1), 43–72 (2010).

3. Berdnikov I.S., Gumerov R.N., Lipacheva E.V., Shishkin K.A. On Cast -Algebra and ast -Polynomial Relations, Lobachevskii J. Math. 44 (6), 1990–1997 (2023).

4. Gumerov R.N., Lipacheva E.V., Shishkin K.A. Categorical criterion for existence of universal C*-algebras, Уфимск. матем. журн. 16 (3), 118–129 (2024).

5. Mac Lane S. Categories for the Working Mathematician, 2nd edition (Springer-Verlag, New York, 1998).

6. Pedersen G.K. Pullback and Pushout Constructions in Cast -Algebra Theory, J. Funct. Anal. 167 (2), 243–344 (1999).

7. Khoshkam M., Tavakoli J. Categorical constructions in C*-algebra theory, J. Austral. Math. Soc. 73 (1), 97–114 (2002).

8. Phillips N.C. Inverse limits of Cast -algebras and applications, Operator algebras and applications, V. 1, London Math. Soc. Lecture Note Ser. 135, 127–185 (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1988).

9. Loring T.A. Lifting Solutions to Perturbing Problems in Cast -Algebras, Fields Institute Monographs, 8 (Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1997).

10. Hadwin D., Kaonga L., Mathes B. Noncommutative continuous functions, J. Korean Math. Soc. 40 (5), 789–830 (2003).

11. Хелемский А.Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии (Наука, М., 1989).