Пусть $f$ — измеримая функция, заданная на $\mathbb{R}$, определим оператор $$\mathcal{G}(\phi_n\ast f)(x)=\sup_N\left|\sum_{k=0}^Nc_k(\phi_{n_{k+1}}\ast f(x)-\phi_{n_k}\ast f(x))\right|,$$ где $\phi_n(x)=\dfrac{1}{n}\chi_{[0,n]}(x)$, а $\ast$ обозначает свертку. Пусть $1<r<\infty$ и $r^\prime =\dfrac{r}{r-1}$. Тогда для всех $1<\rho <\infty$ и для всех $(f_j)\in L^p(w)\cap L^p(\mathbb{R})$ взвешенные неравенства $$\left\|\Bigg(\sum_j(\mathcal{G}(\phi_n\ast f_j)^{\rho}\Bigg)^{1/\rho}\right\|_{L^p(w)}\leq C_{p,\rho}(w)\left\|\Bigg(\sum_j|f_j|^{\rho}\Bigg)^{1/{\rho}}\right\|_{L^p(w)}$$ выполняются, если $w\in A_{p/r^\prime}$ и $r^\prime\leq p<\infty$ или если $w\in A_p^{r^\prime}$ и $1<p\leq r^\prime$. Аналогично, если $w(x)^{r^\prime}\in A_1$, то неравенство слабого типа \begin{align*} w\left(\left\{x:\Bigg(\sum_j(\mathcal{G}(\phi_n\ast f_j)(x))^{\rho}\Bigg)^{1/\rho}>\lambda\right\}\right)  \leq C_{\rho}(w)\frac{1}{\lambda}\int\Bigg(\sum_j|f_j(x)|^{\rho}\Bigg)^{1/\rho}w(x)\, dx \end{align*} выполняется для всех $(f_j)\in L^1(w)\cap L^1(\mathbb{R})$.\\ \indent В частности, взвешенное неравенство $$\left\|\mathcal{G}(\phi_n\ast f)\right\|_{L^p(w)}\leq C_{p,\rho}(w)\left\|f \right\|_{L^p(w)}$$ выполняется для всех $f\in L^p(w)\cap L^p(\mathbb{R}^n)$, если $w\in A_{p/r^\prime}$ и $r^\prime\leq p<\infty$ или если $w\in A_p^{r^\prime}$ и $1<p\leq r^\prime$. Аналогично, если $w(x)^{r^\prime}\in A_1$, то неравенство слабого типа \begin{align*} w\big(\{x:\mathcal{G}(\phi_n\ast f)(x)>\lambda\}\big)\leq C_{\rho}(w)\frac{1}{\lambda}\int |f(x)| w(x)\, dx \end{align*} выполняется для всех $f\in L^1(w)\cap L^1(\mathbb{R})$.

В данной работе рассматривается начально-краевая задача для неоднородного уравнения теплопроводности с кусочно-постоянным аргументом и граничными условиями Дирихле. Для исследования задачи использовался метод Фурье. С помощью разложения по собственным функциям начально-краевая задача сведена к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения относительно коэффициентов разложения с кусочнонепрерывным аргументом. Доказано существование и единственность решения этой задачи. В итоге показано, что исходная задача имеет единственное решение и оно построено в явном виде.

В статье изучается локальная задача для уравнения третьего порядка с эллиптико-гиперболическим оператором в главной части. Применен метод, не требующий специального представления общего решения рассматриваемого уравнения. Этот метод обусловливает изучение уравнения эллиптико-гиперболического типа второго порядка с неизвестными правыми частями, что представляет интерес для решения важных обратных задач механики и физики. Доказаны теоремы существования и единственности классического решения постав- ленной задачи. Доказательство основано на принципе экстремума для уравнения третьего порядка и на теории сингулярных, фредгольмских интегральных уравнений.

В работе рассматриваются подмногообразия, касающиеся во всех своих точках рабочего расслоения аффинерной метрической структуры. Это расслоение является обобще­нием контактного распределения контактной метрической структуры, а аффинерная мет­рическая структура есть обобщение контактной метрической структуры на многообразия произвольной размерности. Такие подмногообразия называются лежандровыми подмного­образиями. Рассмотрены лежандровы подмногообразия общего вида и их частные случаи: лежандровы кривые и однородные лежандровы подмногообразия.

Для конечного семейства континуальных пучков управляемых траекторных кри­вых, индуцированных в сепарабельном гильбертовом пространстве заданной нестационар­ной дифференциальной системой второго порядка с разными полилинейными регуляторами и постоянными параметрами запаздывания, исследована разрешимость задачи реализации операторных коэффициентов общего (инвариантного) полилинейного регулятора с такими же постоянными параметрами запаздывания, но при наличии которого в структуре данной дифференциальной системы объединение этих динамических пучков представляет семейство ее допустимых решений. Данная задача относится к качественной теории нестационарных коэффициентно-операторных обратных задач для эволюционных уравнений второго поряд­ка в бесконечномерном гильбертовом пространстве и решается на основе изучения свойств непрерывности и полуаддитивности нелинейного функционального оператора Релея-Ритца. Полученные результаты имеют приложения в общей теории адаптивных динамических си­стем для класса полилинейных дифференциальных моделей высших порядков.

Используя гармонический анализ, связанный с функцией Бесселя на $[0, +\infty[$, изучаются два класса обобщенных вейвлет-пакетов и связанные с ними обобщенные вейвлет-преобразования, а также формулы Планшереля, Кальдерона и формулы восстановления для этих преобразований.

На основе известных подходов и в развитие полученных ранее результатов пред­ложена уточненная математическая модель для описания процесса нелинейного деформи­рования по цилиндрической форме пластин из волокнистых композитов, основанная на ап­проксимации тангенциальных перемещений полиномом третьей степени по поперечной ко­ординате, в которой соответствующие коэффициенты разложения считаются независимы­ми, а прогибы — линейным законом. Кинематические соотношения для определения компо­нент деформаций построены на основе предложенных ранее непротиворечивых геометриче­ски нелинейных соотношений теории упругости с сохранением слагаемых, позволяющих вы­явить классические изгибные и неклассические (в частности, поперечно-сдвиговые в условиях поперечного изгиба) формы потери устойчивости (ФПУ) пластины. Физически нелинейное поведение материала учитывается в соотношениях для поперечных касательных напряжений. Рассмотрены вопросы корректности построенных уравнений при формулировке тех или иных условий закрепления и нагружения торцевых сечений пластины. Показано, что в решениях, определяемых на основе построенных уравнений, при удовлетворении граничным условиям защемления поперечного сечения в его окрестности осуществляется переход к решению по модели С.П. Тимошенко с постоянным по толщине поперечным касательным напряжением. Данный вывод сформулирован исходя из анализа точного аналитического решения линейной задачи о поперечном изгибе по цилиндрической форме консольно закрепленной пластины.

Работа посвящена изучению задач теории приближения периодических классов функций тригонометрическими полиномами в гильбертовом пространстве $L_{2}.$ Получены точные константы в неравенствах типа Джексона--Стечкина для функций $f\in L_{2}^{(r)},$ у которых последовательные производные $f^{(s)} \ (s=0,1,\ldots,r)$ принадлежат пространству $L_{2}.$ Также получено точное значение одновременных приближений функции и ее последовательных производных для определенных классов функций, задаваемых обобщенным модулем непрерывности высших порядков $\Omega_{m}(f^{(r)},t)_{2}.$

Для класса функций $W_{m}^{(r)}(h),$ где $m\in\mathbb{N},\, r\in\mathbb{Z}_{+},$ $h\in(0,3\pi/(4n)],$ удовлетворяющих ограничению \begin{equation*} \left\{\Omega_{m}^{2/m}(f^{(r)},h)+ \dfrac{n^{2}}{h}\displaystyle\int\limits_{0}^{h}\tau(h-\tau)\Omega_{m}^{2/m}\big(f^{(r)},\tau)d\tau\right\}^{m/2}\le1, \end{equation*} вычислены точные значения бернштейновских, колмогоровских, линейных, гельфандовских и проекционных $n$-поперечников в пространстве $L_2.$