Взвешенные неравенства для разностей средних над лакунарными последовательностями в пространствах LP

Пусть $f$ — измеримая функция, заданная на $\mathbb{R}$, определим оператор $$\mathcal{G}(\phi_n\ast f)(x)=\sup_N\left|\sum_{k=0}^Nc_k(\phi_{n_{k+1}}\ast f(x)-\phi_{n_k}\ast f(x))\right|,$$ где $\phi_n(x)=\dfrac{1}{n}\chi_{[0,n]}(x)$, а $\ast$ обозначает свертку. Пусть $1<r<\infty$ и $r^\prime =\dfrac{r}{r-1}$. Тогда для всех $1<\rho <\infty$ и для всех $(f_j)\in L^p(w)\cap L^p(\mathbb{R})$ взвешенные неравенства $$\left\|\Bigg(\sum_j(\mathcal{G}(\phi_n\ast f_j)^{\rho}\Bigg)^{1/\rho}\right\|_{L^p(w)}\leq C_{p,\rho}(w)\left\|\Bigg(\sum_j|f_j|^{\rho}\Bigg)^{1/{\rho}}\right\|_{L^p(w)}$$ выполняются, если $w\in A_{p/r^\prime}$ и $r^\prime\leq p<\infty$ или если $w\in A_p^{r^\prime}$ и $1<p\leq r^\prime$. Аналогично, если $w(x)^{r^\prime}\in A_1$, то неравенство слабого типа \begin{align*} w\left(\left\{x:\Bigg(\sum_j(\mathcal{G}(\phi_n\ast f_j)(x))^{\rho}\Bigg)^{1/\rho}>\lambda\right\}\right)  \leq C_{\rho}(w)\frac{1}{\lambda}\int\Bigg(\sum_j|f_j(x)|^{\rho}\Bigg)^{1/\rho}w(x)\, dx \end{align*} выполняется для всех $(f_j)\in L^1(w)\cap L^1(\mathbb{R})$.\\ \indent В частности, взвешенное неравенство $$\left\|\mathcal{G}(\phi_n\ast f)\right\|_{L^p(w)}\leq C_{p,\rho}(w)\left\|f \right\|_{L^p(w)}$$ выполняется для всех $f\in L^p(w)\cap L^p(\mathbb{R}^n)$, если $w\in A_{p/r^\prime}$ и $r^\prime\leq p<\infty$ или если $w\in A_p^{r^\prime}$ и $1<p\leq r^\prime$. Аналогично, если $w(x)^{r^\prime}\in A_1$, то неравенство слабого типа \begin{align*} w\big(\{x:\mathcal{G}(\phi_n\ast f)(x)>\lambda\}\big)\leq C_{\rho}(w)\frac{1}{\lambda}\int |f(x)| w(x)\, dx \end{align*} выполняется для всех $f\in L^1(w)\cap L^1(\mathbb{R})$.

1. Demir S. Inequalities for the variation operator, Bull. Hell. Math. Soc. 64, 92–97 (2020).

2. Demir S. Variational inequalities for the differences of averages over lacunary sequences, New York J. Math. 28, 1099–1111 (2022).

3. Демир С. Вариационные неравенства и неравенства lambda -скачка в Hp -пространствах, Изв. вузов. Матем. (4), 15–19 (2024).

4. Jones R. L., Rosenblatt J. Differential and ergodic transforms, Math. Ann. 323, 525–546 (2002).

5. Rubio de Francia J.L., Ruiz F. J., Torrea J.L. Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function, Trans. AMS 165, 207–226 (1972).