Уточненные нелинейные модели деформирования по цилиндрической форме пластин из волокнистых композитов. 2. Модель третьего порядка точности

На основе известных подходов и в развитие полученных ранее результатов пред­ложена уточненная математическая модель для описания процесса нелинейного деформи­рования по цилиндрической форме пластин из волокнистых композитов, основанная на ап­проксимации тангенциальных перемещений полиномом третьей степени по поперечной ко­ординате, в которой соответствующие коэффициенты разложения считаются независимы­ми, а прогибы — линейным законом. Кинематические соотношения для определения компо­нент деформаций построены на основе предложенных ранее непротиворечивых геометриче­ски нелинейных соотношений теории упругости с сохранением слагаемых, позволяющих вы­явить классические изгибные и неклассические (в частности, поперечно-сдвиговые в условиях поперечного изгиба) формы потери устойчивости (ФПУ) пластины. Физически нелинейное поведение материала учитывается в соотношениях для поперечных касательных напряжений. Рассмотрены вопросы корректности построенных уравнений при формулировке тех или иных условий закрепления и нагружения торцевых сечений пластины. Показано, что в решениях, определяемых на основе построенных уравнений, при удовлетворении граничным условиям защемления поперечного сечения в его окрестности осуществляется переход к решению по модели С.П. Тимошенко с постоянным по толщине поперечным касательным напряжением. Данный вывод сформулирован исходя из анализа точного аналитического решения линейной задачи о поперечном изгибе по цилиндрической форме консольно закрепленной пластины.

1. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек (Наука, М., 1974).

2. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость и колебания (Наука, М., 1987).

3. Reddy J.N. A simple higher-order theory for laminated composite plates, J. Appl. Mech. 51 (4), 745–752 (1984).

4. Librescu L. Refined geometrically non-linear theories of anisotropic laminated shells, Quart. Appl. Math. 45 (1), 1–22 (1987).

5. Schmidt R., Reddy J.N. A refined small strain and moderate rotation theory of elastic anisotropic shells, J. Appl. Mech. 55 (3), 611–617 (1988).

6. Librescu L., Schmidt R. Refined theories of elastic anisotropic shells accounting for small strains and moderate rotations, Int. J. Nonlinear Mech. 23 (3), 217–229 (1988).

7. Reddy J.N. A general non-linear third-order theory of plates with moderate thickness, Int. J. Nonlinear Mech. 25 (6), 677–686 (1990).

8. Librescu L., Schmidt R. Substantiation of a shear-deformable theory of anisotropic composite laminated shells accounting for the interlaminate continuity conditions, Int. J. Eng. Sci. 29 (6), 669–683 (1991).

9. Basar Y., DingY., Schultz R. Refined shear-deformation models for composite laminates with finite rotations, Int. J. Solids Struct. 30 (19), 2611–2638 (1993).

10. Gruttmann F., Wagner W. A linear quadrilateral shell element with fast stiffness computation, Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 194 (39–41), 4279–4300 (2005).

11. Gruttmann F., Wagner W. Structural analysis of composite laminates using a mixed hybrid shell element, Comput. Mech. 37 (6), 479–497 (2006).

12. Schmidt R., Vu. T.D. Nonlinear dynamic FE simulation of smart piezolaminated structures based on firstand third-order transverse shear deformation theory, Adv. Materials Res. 79–82, 1313–1316 (2009).

13. Yankovskii A.P. Critical Analysis of the Equations of Statics in the Bending Theories of Composite Plates Obtained on the Basis of Variational Principles of Elasticity Theory 1. General Theories of High Order, Mech. Comp. Materials 56 (3), 271–290 (2020), DOI: 10.1007/s11029-020-09880-8.

14. Yankovskii A.P. Critical Analysis of the Equations of Statics in the Bending Theories of Composite Plates Obtained on the Basis of Variational Principles of Elasticity Theory 2. Particular Low-Order Theories, Mech. Comp. Materials 56 (4), 437–454 (2020), DOI: 10.1007/s11029-020-09895-1.

15. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates, J. Math. Phys. 23 (1–4), 184–191 (1944).

16. Mindlin R.D. Thickness-shear and flexural vibrations of crystal plates, J. Appl. Phys. 22 (3), 316–323 (1951).

17. Reissner E. A consistent treatment of transverse shear deformations in laminated anisotropic plates, AIAA J. 10 (5), 716–718 (1972).

18. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетерс Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов (Зинатне, Рига, 1980).

19. Reddy J.N. A refined nonlinear theory of plates with transverse shear deformation, Int. J. of Solids and Struct. 20 (9–10), 881–896 (1984).

20. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов (Наука, Новосибирск, 2013).

21. Андреев А.Н. Упругость и термоупругость слоистых композитных оболочек. Математическая модель и некоторые аспекты численного анализа (Palmarium Acad. Publ., Saarbrucken, 2013).

22. Thai C.H. Analysis of laminated composite plates using higher-order shear deformation plate theory and mode-based smoother discrete shear gap method, Appl. Math. Modeling 36 (11), 5657–5677 (2012).

23. Mau S. A refined laminated plates theory, J. Appl. Mech. 40 (2), 606–607 (1973).

24. Lo K., Christensen R., Wu E. A high-order theory of plate deformation. Part 1: homogeneous plates, J. Appl. Mech. 44 (4), 663–668 (1977).

25. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость и колебания (Наука, Новосибирск, 2001).

26. Михайловский Е.И. Математические модели механики упругих тел (Изд-во Сыктывкарск. ун-та, Сыктывкар, 2004).

27. Paimushin V.N., Makarov M.V., Polyakova N.V., Shishov M.A., Kamalutdinov A.M., Panin S.V. Refined Nonlinear Deformation Models of Semi-Infinite Plates Made of Fiber Reinforced Plastics. 1. Reddy–Nemirovsky Type Model, Lobachevskii J. Math. 43 (8), 2257–2266 (2022), DOI: 10.1134/S1995080222110245.

28. Paimushin V.N., Kholmogorov S.A., Makarov M.V., Tarlakovskii D.V., Lukaszewicz A. Mechanics of fiber composites: Forms of loss of stability and fracture of test specimens resulting from three-point bending tests, Z Angew Math Mech. 99 (1), e201800063 (2019).

29. Paimushin V.N., Shalashilin V.I. The relations of deformation theory in the quadratic approximation and the problems of constructing improved versions of the geometrically non-linear theory of laminated structures, J. Appl. Math. Mech. 69 (5), 773–791 (2005).

30. Paimushin V.N., Kholmogorov S.A. Physical-Mechanical Properties of a Fiber-Reinforced Composite Based on an ELUR-P Carbon Tape and XT-118 Binder, Mech. Comp. Materials 54 (1), 2–12 (2018), DOI: 10.1007/s11029-018-9712-1.

31. Paimushin V.N., Gazizullin R.K. Static and monoharmonic acoustic impact on a laminated plate, Mech. Comp. Materials 53 (6), 283–304 (2017).