Рассматривается оператор Шрёдингера $H(\mathbf{k})=H_0(\mathbf{k})-V, \,\, \mathbf{k}\in \mathbb{T}^2,$ ассоциированный системой двух частиц на двумерной решетке. Показывается инвариантность подпространств четных и нечетных функций относительно $H(\mathbf{k}).$ Описываются множества квазиимпульсов $\mathcal{K}(1),$ $\mathcal{K}(2)$ и класс потенциалов $\mathrm{P}(1),$ $\mathrm{P}(2),$ для которых при $\mathbf{k}\in \mathcal{K}(j),\,\, \hat{v}\in \mathrm{P}(j)$ оператор $H(\mathbf{k})$ имеет бесконечное число собственных значений $z_n(\mathbf{k}),\, n\in \mathbb{Z}_+$. Найдены явный вид $z_n(\mathbf{k})$ и скорость стремления последовательности $z_n(\mathbf{k})$ ко дну существенного спектра.

Рассматривается краевая задача с интегральными граничными условиями для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка. Посредством функции Грина краевая задача редуцируется к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению Гаммерштейна. Далее, выявив необходимые нам свойства функции Грина, доказывается, что оператор Гаммерштейна сжимает соответствующий конус. Последнее обстоятельство в силу известной теоремы Красносельского гарантирует существование по меньшей мере одного положительного решения краевой задачи. С помощью априорных оценок с использованием принципа сжатых отображений были получены достаточные условия единственности положительного решения. В конце статьи приведен нетривиальный пример, иллюстрирующий полученные результаты.

Многочлен Якоби $P_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right)}(x)$ является известным ортогональным многочленом. Изучены несколько новых свойств обобщенного многочлена Якоби $P_{n,\tau}^{\left( \alpha ,\gamma,\beta \right)}(x)$ (Waghela D., Rao S.B. A Note on Sequence of Functions associated with the Generalized Jacobi polynomial, Researches Math. 31 (2), 1-18 (2023)) и его частного случая $P_{n}^{\left( \alpha ,\gamma,\beta \right)}(x)$, которые, наряду с различными представлениями указанного обобщения, включают важное свойство ортогональности, порождающую функцию и результаты, связанные с интегральным представлением и дифференцированием обобщенного многочлена Якоби; также получен ряд известных преобразований этого обобщенного многочлена.

Пусть $D$ - квадрат с границей $\Gamma$. Рассмотрено четырехэлементное линейное суммарно-разностное уравнение в классе функций, голоморфных вне $D$ и исчезающих на бесконечности. Коэффициенты уравнения и свободный член голоморфны в $D$. Решение ищется в виде интеграла типа Коши по $\Gamma$ с неизвестной плотностью. Его граничное значение удовлетворяет условию Гёльдера на любом компакте из $\Gamma$, не содержащем вершин. В вершинах допускаются, самое большее, логарифмические особенности. Для регуляризации уравнения на $\Gamma$ вводится кусочно-линейный сдвиг Карлемана, изменяющий ориентацию и имеющий две неподвижные точки. В вершинах он непрерывен, но его производная разрывна в них. Проведена регуляризация уравнения и найдено условие ее равносильности. Указаны различные приложения и обобщения.

Рассмотрена задача построения преобразования Фурье боронообразной функции для определения дискретного аналога дифференциального оператора, который используется при построении оптимальных квадратурных формул в пространстве Л. Хёрмандера. Кроме того, рассмотрена задача построения дискретного аналога конкретного оператора в частном случае.

Изучена задача с условиями Бицадзе-Самарского и Франкля для уравнения смешанного типа в области, эллиптической частью которой является первый квадрант плоскости, а гиперболической частью - характеристический треугольник. Доказана корректность сформулированной задачи.

Для линейных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, подверженных обобщенному воздействию, предложена формализация понятия устойчивости по Хайерсу-Уламу-Рассиасу. Рассмотрены случаи, когда система имеет единственную реакцию на обобщенное воздействие и когда реакция системы не единственна. Установлены достаточные условия такой устойчивости для рассматриваемых систем дифференциальных уравнений.

Цель - представить результаты по устойчивости Хайерса-Улама-Рассиаса и устойчивости Хайерса-Улама для дифференциального уравнения Бернулли. Аргументация основывается на подходе с использованием неподвижной точки. Приводятся несколько примеров для иллюстрации основных результатов.

Исследуются поверхностные периодические волны бесконечной глубины. Краевая задача формулируется в параметрической плоскости относительно функции Жуковского. С использованием дискретного преобразования Фурье задача сводится к конечной системе нелинейных трансцендентных уравнений. Показано, что с увеличением крутизны волн при соответствующем масштабировании искомой функции формируется внутреннее решение вблизи гребня, независящее от крутизны. Показано, что численное воспроизведение этого решения является ключевым фактором для точных расчетов почти предельных гравитационных волн.

Рассматривается двумерная иерархическая решетка, в которой элементарная ячейка представлена вершинами квадрата. В обобщенной иерархической модели расстояние между противоположными вершинами квадрата отличается от расстояния между соседними вершинами и является параметром новой модели. В каждой вершине решетки поле задается набором из четырех компонент, являющихся образующими алгебры Грассмана. Гамильтониан поля описывается взаимодействием 4-й степени. Преобразование ренормализационной группы в пространстве коэффициентов связи, задающих это взаимодействие, определяется как нелинейное отображение. Описываются все ветви неподвижных точек этого отображения.