Existence of positive solutions of symmetric variational eigenvalue problems
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-7-77-84
Abstract
A symmetric variational eigenvalue problem in the Hilbert space with a cone is investigated. New sufficient conditions on the bilinear forms, the Hilbert space, and the cone of the variational problem guaranteeing the existence of a unique normalized positive eigenelement corresponding to a positive simple minimal eigenvalue are proposed and justified. The obtained abstract results are illustrated by the example of the generalized eigenvalue problem for the second order self-adjoint elliptic differential operator.
About the Author
P. S. Solov’ev
Kazan Federal University
Russian Federation
Russian Federation
Pavel S. Solov’ev.
18 Kremlevskaya str., Kazan, 420008
References
1. Perron О. Grundlagen fur eine Theorie des Jacobischen Kettenbriichalgorithmus, Math. Annalen. 64 (1), 1-76 (1907).
2. Frobenius G. Uber Matrizen aus nicht negative». Elementen, Konig. Akad. Wiss. Berlin. 23, 456-477 (1912).
3. Jentzsch R. Uber Integralgleichungen mit positivem Kern, J. Reine Angew. Math. 141, 235-244 (1912).
4. Рутман M.A. О вполне непрерывных линейных операторах, оставляющих инвариантным некоторый конус, Матем. сб. 50 (1), 77-96 (1940).
5. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха, УМН 3 (1(23)), 3-95 (1948).
6. Вулих В.З. Введение в функциональный анализ (Наука, М., 1967).
7. Gazzola F., Grunau H.-С., Sweers G. Polyharmonic boundary value problems. Positivity preserving and nonlinear higher order elliptic equations in bounded domains (Springer, Berlin, 2010).
8. Красносельский M.A., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.В., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений (Наука, М., 1969).
9. Вулих В.З. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах (Калинин, гос. ун-т, Калинин, 1977).
10. Batkai A., Fijavz М.К., Rhandi A. Positive operator semigroups. From finite to infinite dimensions (Springer, Berlin, 2017).
11. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных (Высш, шк., М., 1977).
12. Adams R.A. Sobolev spaces (Acad. Press, New York, 1975).
13. Гилбарг Д., Трудингер H. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка (Наука, М., 1989).
14. Coffman C.V., Duffin R.J., Mizel V.J. Nonuniformly elliptic equations: positivity of weak solutions, Bull. Amer. Math. Soc. 79 (2), 496-499 (1973).
15. Coffman C.V., Duffin R.J., Mizel V.J. Positivity of weak solutions of non-uniformly elliptic equations, Ann. Mat. Рига Appl. 104, 209-238 (1975).
16. Coffman C.V., Marcus M.M., Mizel V.J. On Green’s function and eigenvalues of nonuniformly elliptic boundary value problems, Math. Z. 182, 321-326 (1983).
17. Trudinger N.S. On the first eigenvalue of non-uniformly elliptic boundary value problems, Math. Z. 174, 227-232 (1980).
18. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения (Мир, М., 1983).
19. Вайокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей (Наука, М., 1988).
Review
For citations:
Solov’ev P.S. Existence of positive solutions of symmetric variational eigenvalue problems. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2024;(7):77-84. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-7-77-84
Views:
113
Email this article 