Существование положительных решений симметричных вариационных задач на собственные значения

Исследуется симметричная вариационная задача на собственные значения в гильбертовом пространстве с конусом. Предложены и обоснованы новые достаточные условия на билинейные формы, гильбертово пространство и конус вариационной задачи, гарантирующие существование единственного нормированного положительного собственного элемента, соответствующего положительному простому минимальному собственному значению. Полученные абстрактные результаты иллюстрируются на примере обобщенной задачи на собственные значения для самосопряженного эллиптического дифференциального оператора второго порядка.

1. Perron О. Grundlagen fur eine Theorie des Jacobischen Kettenbriichalgorithmus, Math. Annalen. 64 (1), 1-76 (1907).

2. Frobenius G. Uber Matrizen aus nicht negative». Elementen, Konig. Akad. Wiss. Berlin. 23, 456-477 (1912).

3. Jentzsch R. Uber Integralgleichungen mit positivem Kern, J. Reine Angew. Math. 141, 235-244 (1912).

4. Рутман M.A. О вполне непрерывных линейных операторах, оставляющих инвариантным некоторый конус, Матем. сб. 50 (1), 77-96 (1940).

5. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха, УМН 3 (1(23)), 3-95 (1948).

6. Вулих В.З. Введение в функциональный анализ (Наука, М., 1967).

7. Gazzola F., Grunau H.-С., Sweers G. Polyharmonic boundary value problems. Positivity preserving and nonlinear higher order elliptic equations in bounded domains (Springer, Berlin, 2010).

8. Красносельский M.A., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.В., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений (Наука, М., 1969).

9. Вулих В.З. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах (Калинин, гос. ун-т, Калинин, 1977).

10. Batkai A., Fijavz М.К., Rhandi A. Positive operator semigroups. From finite to infinite dimensions (Springer, Berlin, 2017).

11. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных (Высш, шк., М., 1977).

12. Adams R.A. Sobolev spaces (Acad. Press, New York, 1975).

13. Гилбарг Д., Трудингер H. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка (Наука, М., 1989).

14. Coffman C.V., Duffin R.J., Mizel V.J. Nonuniformly elliptic equations: positivity of weak solutions, Bull. Amer. Math. Soc. 79 (2), 496-499 (1973).

15. Coffman C.V., Duffin R.J., Mizel V.J. Positivity of weak solutions of non-uniformly elliptic equations, Ann. Mat. Рига Appl. 104, 209-238 (1975).

16. Coffman C.V., Marcus M.M., Mizel V.J. On Green’s function and eigenvalues of nonuniformly elliptic boundary value problems, Math. Z. 182, 321-326 (1983).

17. Trudinger N.S. On the first eigenvalue of non-uniformly elliptic boundary value problems, Math. Z. 174, 227-232 (1980).

18. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения (Мир, М., 1983).

19. Вайокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей (Наука, М., 1988).