Локальная краевая задача для одного класса уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа

В статье изучается локальная задача для уравнения третьего порядка с эллиптико-гиперболическим оператором в главной части. Применен метод, не требующий специального представления общего решения рассматриваемого уравнения. Этот метод обусловливает изучение уравнения эллиптико-гиперболического типа второго порядка с неизвестными правыми частями, что представляет интерес для решения важных обратных задач механики и физики. Доказаны теоремы существования и единственности классического решения постав- ленной задачи. Доказательство основано на принципе экстремума для уравнения третьего порядка и на теории сингулярных, фредгольмских интегральных уравнений.

1. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики (НГУ, Новосибирск, 1983).

2. Бицадзе А.В., Салахитдинов М.С. К теории уравнений смешанно-составного типа, Сиб. матем. журн. 2 (1), 7–19 (1961).

3. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа (Фан, Ташкент, 1974).

4. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типа (ФАН, Ташкент, 1979).

5. Nardini R. Soluzione di un poblema al contorno della magneto-idrodinamica, Ann. Mat. Pur. Appl. 35, 269– 290 (1953).

6. Chen S.X. Mixed type equations in gas dynamics, Quart. Appl. Math. 68 (3), 487–511 (2010).

7. Кожанов А.И. Смешанная задача для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка, Матем. сб. 118 (160) (4 (8)), 504–522 (1982).

8. Джураев Т.Д., Мамажанов М. О корректной постановке краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа, Дифференц. уравнения 19 (1), 37–50 (1983).

9. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям (Физматгиз, М., 1959).

10. Карачик В.В. Задачи Коши и Гурса для уравнения 3-го порядка, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. Механ. Физ. 7 (2), 31–43 (2015).

11. Зикиров О.С. Об одной задаче типа Дирихле для уравнения составного типа, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. Механ. Физ. 8 (2), 19–26 (2016).

12. Иргашев Б.Ю. Краевая задача для вырождающегося уравнения третьего порядка, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. Механ. Физ. 8 (2), 27–35 (2016).

13. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных (Наука, М., 1981).

14. Аманов Д., Юлдашева А.В. Сильная разрешимость полупериодической самосопряженной задачи для уравнения четвертого порядка, Узбекск. матем. журн. 2, 3–8 (2009).

15. Апаков Ю.П. Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми с параллельными плоскостями вырождения, Вестн. КРАУНЦ. Физ-матем. науки 1 (21), 6–20 (2018).

16. Сабитов К.Б., Удалова Г.Ю. Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности, Вестн. Самарск. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки 3 (32), 29–45 (2013).

17. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения (Наука и техника, Минск, 1987).

18. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения (Наука, М., 1968).

19. Турдиев Х.Х. Обратные коэффициентные задачи для временно-дробного волнового уравнения с обобщенной производной Римана–Лиувилля по времени, Изв. вузов. Матем. (10), 46–59 (2023).

20. Abdullayev A., Kholturayev K., Safarbayeva N. Exact method to solve of linear heat transfer problems, E3S Web Conf. 246, 02059 (2021).

21. Дурдиев Д.К., Жумаев Ж.Ж. Обратная задача определения ядра интегро-дифференциального уравнения дробной диффузии в ограниченной области, Изв. вузов. Матем. (10), 22–35 (2023).

22. Абдурагимов Г.Э. О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для одного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 4n-го порядка, Изв. вузов. Матем. (9), 20–26 (2023).

23. Дурдиев Д.К. Коэффициентная обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с нехарактеристической линией изменения типа, Изв. вузов. Матем. (3), 38–49 (2024).

24. Agmon S., Nirenberg L., Protter M.H. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type, Commun. Pure and Appl. Math. 6 (4), 455–470 (1953).

25. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажонов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа (Фан, Ташкент, 1986).

26. Islomov B.I., Usmonov B. Nonlocal boundary-value problem for third order elliptic-hyperbolic type, Lobachevskii J. Math. 41 (1), 32–38 (2020).

27. Islomov B.I., Usmonov B. Nonlocal Boundary Value Problems for a Third Order Equation of EllipticHyperbolic Type, AIP Conf. Proc. 3004 (1), 040016-1-040016-10 (2024).

28. Abdullaev A.A., Safarbayeva N.M., Usmonov B.Z. On the unique solvability of a nonlocal boundary value problem with the Poincar´e condition, E3S Web Conf. 401 (4), 03048 (2023).

29. Abdullayev A.A., Xolbekov J.A., Axralov H. Dirichlet’s problem for a third-order parabolic hyperbolic type equation of the second kind, E3S Web Conf. 401 (2), 03049 (2023).

30. Abdullayev A., Hidoyatova M. Exact method to solve finite difference equations of linear heat transfer problems, AIP Conf. Proc. 2402, 070021 (2021).

31. Abdullayev A., Zhuvanov K., Ruzmetov K. A generalized solution of a modified Cauchy problem of class R2 for a hyperbolic equation of the second kind, J. Phys.: Conf. Ser. 1889 (2), 022121 (2021).

32. Islomov B.I., Abdullayev A.A. Bitsadze–Samarsky type nonlocal boundary value problem for a second kind mixed equation with a conjugation condition of the frankl type, Lobachevskii J. Math. 45 (3), 1145–1159 (2024).

33. Мирсабурова Д.М. Задача с аналогом условия Франкля и смещения для уравнения Геллерстедта с сингулярным коэффициентом, Изв. вузов. Матем. (6), 37–48 (2024).