izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2026-3-23-34izvuzmath-274Research ArticleСтатьиЛокальная краевая задача для одного класса уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типаLocal boundary value problem for one class of third-order equations of elliptic-hyperbolic typeИсломовБ. И.IslomovB. I.

Бозор Исломович Исломов

ул. Университетская, д. 4, г. Ташкент, 100174

Bozor  Islomovich  Islomov 

4 University str., Tashkent, 100174 

islomovbozor@yandex.comУсмоновБ. З.UsmonovB. Z.

Бахтиёр Зохирович Усмонов

пр. Амира Темура, д. 104, г. Чирчик, 102100, 

ул. М. Икбол, д. 11, г. Бухара, 200100

Bakhtiyor Zokhirovich Usmonov 

104 Amir Temur Ave., Chirchik, 102100,

11 M. Ikbol str., Bukhara, 200100 

bakhtiyer.usmanov@mail.ruAбдуллаевА. А.AbdullaevA. A.

Акмалжон Абдужалилович Aбдуллаев 

ул. Кари Ниязи, д. 39, г. Ташкент, 100000,

ул. Политехническая, д. 29, литера Б, г. Санкт-Петербург, 195251

Akmaljon Abdujalilovich Abdullaev 

39 Kari Niyazi str., Tashkent, 100000,

29, litera B, Polytechnicheskaya str., St. Petersburg, 195251 

akmal09.07.85@mail.ruНациональный университет Узбекистана им. М. УлугбекаУзбекистанNational University of UzbekistanUzbekistanЧирчикский государственный педагогический институт; Бухарский государственный университетУзбекистанChirchik State Pedagogical Institute; Bukhara State UniversityUzbekistanНациональный исследовательский университет «Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства»; Санкт-Петербургский политехнический университет Петра ВеликогоУзбекистанNational Research University "Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers"; Peter the Great St. Petersburg Polytechnic UniversityUzbekistan202612042026032334Copyright © Исломов Б.И., Усмонов Б.З., Aбдуллаев А.А., 20262026Исломов Б.И., Усмонов Б.З., Aбдуллаев А.А.Islomov B.I., Usmonov B.Z., Abdullaev A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/274

В статье изучается локальная задача для уравнения третьего порядка с эллиптико-гиперболическим оператором в главной части. Применен метод, не требующий специального представления общего решения рассматриваемого уравнения. Этот метод обусловливает изучение уравнения эллиптико-гиперболического типа второго порядка с неизвестными правыми частями, что представляет интерес для решения важных обратных задач механики и физики. Доказаны теоремы существования и единственности классического решения постав- ленной задачи. Доказательство основано на принципе экстремума для уравнения третьего порядка и на теории сингулярных, фредгольмских интегральных уравнений.

The article studies a local problem for a third-order equation with an elliptic-hyperbolic operator in the principal part. A method is applied that does not require a special representation of the general solution of the equation under consideration. This method determines the study of an elliptic-hyperbolic equation of the second order with unknown right-hand sides, which is of interest for solving important inverse problems of mechanics and physics. Theorems of existence and uniqueness of the classical solution of the problem are proved. The proof is based on the extremum principle for a third-order equation and on the theory of singular, Fredholm integral equations.

локальная задачапредставление общего решенияпринцип экстремумаметод регуляризацииуравнение Фредгольмаlocal problemrepresentation of general solutionextremum principleregularization methodFredholm equationReferencesВрагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики (НГУ, Новосибирск, 1983).Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики (НГУ, Новосибирск, 1983).Бицадзе А.В., Салахитдинов М.С. К теории уравнений смешанно-составного типа, Сиб. матем. журн. 2 (1), 7–19 (1961).Бицадзе А.В., Салахитдинов М.С. К теории уравнений смешанно-составного типа, Сиб. матем. журн. 2 (1), 7–19 (1961).Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа (Фан, Ташкент, 1974).Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа (Фан, Ташкент, 1974).Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типа (ФАН, Ташкент, 1979).Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типа (ФАН, Ташкент, 1979).Nardini R. Soluzione di un poblema al contorno della magneto-idrodinamica, Ann. Mat. Pur. Appl. 35, 269– 290 (1953).Nardini R. Soluzione di un poblema al contorno della magneto-idrodinamica, Ann. Mat. Pur. Appl. 35, 269– 290 (1953).Chen S.X. Mixed type equations in gas dynamics, Quart. Appl. Math. 68 (3), 487–511 (2010).Chen S.X. Mixed type equations in gas dynamics, Quart. Appl. Math. 68 (3), 487–511 (2010).Кожанов А.И. Смешанная задача для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка, Матем. сб. 118 (160) (4 (8)), 504–522 (1982).Кожанов А.И. Смешанная задача для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка, Матем. сб. 118 (160) (4 (8)), 504–522 (1982).Джураев Т.Д., Мамажанов М. О корректной постановке краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа, Дифференц. уравнения 19 (1), 37–50 (1983).Джураев Т.Д., Мамажанов М. О корректной постановке краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка параболо-гиперболического типа, Дифференц. уравнения 19 (1), 37–50 (1983).Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям (Физматгиз, М., 1959).Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям (Физматгиз, М., 1959).Карачик В.В. Задачи Коши и Гурса для уравнения 3-го порядка, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. Механ. Физ. 7 (2), 31–43 (2015).Карачик В.В. Задачи Коши и Гурса для уравнения 3-го порядка, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. Механ. Физ. 7 (2), 31–43 (2015).Зикиров О.С. Об одной задаче типа Дирихле для уравнения составного типа, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. Механ. Физ. 8 (2), 19–26 (2016).Зикиров О.С. Об одной задаче типа Дирихле для уравнения составного типа, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. Механ. Физ. 8 (2), 19–26 (2016).Иргашев Б.Ю. Краевая задача для вырождающегося уравнения третьего порядка, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. Механ. Физ. 8 (2), 27–35 (2016).Иргашев Б.Ю. Краевая задача для вырождающегося уравнения третьего порядка, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. Механ. Физ. 8 (2), 27–35 (2016).Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных (Наука, М., 1981).Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных (Наука, М., 1981).Аманов Д., Юлдашева А.В. Сильная разрешимость полупериодической самосопряженной задачи для уравнения четвертого порядка, Узбекск. матем. журн. 2, 3–8 (2009).Аманов Д., Юлдашева А.В. Сильная разрешимость полупериодической самосопряженной задачи для уравнения четвертого порядка, Узбекск. матем. журн. 2, 3–8 (2009).Апаков Ю.П. Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми с параллельными плоскостями вырождения, Вестн. КРАУНЦ. Физ-матем. науки 1 (21), 6–20 (2018).Апаков Ю.П. Об одном трехмерном аналоге задачи Трикоми с параллельными плоскостями вырождения, Вестн. КРАУНЦ. Физ-матем. науки 1 (21), 6–20 (2018).Сабитов К.Б., Удалова Г.Ю. Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности, Вестн. Самарск. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки 3 (32), 29–45 (2013).Сабитов К.Б., Удалова Г.Ю. Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с условиями периодичности, Вестн. Самарск. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки 3 (32), 29–45 (2013).Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения (Наука и техника, Минск, 1987).Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения (Наука и техника, Минск, 1987).Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения (Наука, М., 1968).Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения (Наука, М., 1968).Турдиев Х.Х. Обратные коэффициентные задачи для временно-дробного волнового уравнения с обобщенной производной Римана–Лиувилля по времени, Изв. вузов. Матем. (10), 46–59 (2023).Турдиев Х.Х. Обратные коэффициентные задачи для временно-дробного волнового уравнения с обобщенной производной Римана–Лиувилля по времени, Изв. вузов. Матем. (10), 46–59 (2023).Abdullayev A., Kholturayev K., Safarbayeva N. Exact method to solve of linear heat transfer problems, E3S Web Conf. 246, 02059 (2021).Abdullayev A., Kholturayev K., Safarbayeva N. Exact method to solve of linear heat transfer problems, E3S Web Conf. 246, 02059 (2021).Дурдиев Д.К., Жумаев Ж.Ж. Обратная задача определения ядра интегро-дифференциального уравнения дробной диффузии в ограниченной области, Изв. вузов. Матем. (10), 22–35 (2023).Дурдиев Д.К., Жумаев Ж.Ж. Обратная задача определения ядра интегро-дифференциального уравнения дробной диффузии в ограниченной области, Изв. вузов. Матем. (10), 22–35 (2023).Абдурагимов Г.Э. О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для одного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 4n-го порядка, Изв. вузов. Матем. (9), 20–26 (2023).Абдурагимов Г.Э. О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для одного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 4n-го порядка, Изв. вузов. Матем. (9), 20–26 (2023).Дурдиев Д.К. Коэффициентная обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с нехарактеристической линией изменения типа, Изв. вузов. Матем. (3), 38–49 (2024).Дурдиев Д.К. Коэффициентная обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с нехарактеристической линией изменения типа, Изв. вузов. Матем. (3), 38–49 (2024).Agmon S., Nirenberg L., Protter M.H. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type, Commun. Pure and Appl. Math. 6 (4), 455–470 (1953).Agmon S., Nirenberg L., Protter M.H. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic-hyperbolic type, Commun. Pure and Appl. Math. 6 (4), 455–470 (1953).Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажонов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа (Фан, Ташкент, 1986).Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажонов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа (Фан, Ташкент, 1986).Islomov B.I., Usmonov B. Nonlocal boundary-value problem for third order elliptic-hyperbolic type, Lobachevskii J. Math. 41 (1), 32–38 (2020).Islomov B.I., Usmonov B. Nonlocal boundary-value problem for third order elliptic-hyperbolic type, Lobachevskii J. Math. 41 (1), 32–38 (2020).Islomov B.I., Usmonov B. Nonlocal Boundary Value Problems for a Third Order Equation of EllipticHyperbolic Type, AIP Conf. Proc. 3004 (1), 040016-1-040016-10 (2024).Islomov B.I., Usmonov B. Nonlocal Boundary Value Problems for a Third Order Equation of EllipticHyperbolic Type, AIP Conf. Proc. 3004 (1), 040016-1-040016-10 (2024).Abdullaev A.A., Safarbayeva N.M., Usmonov B.Z. On the unique solvability of a nonlocal boundary value problem with the Poincar´e condition, E3S Web Conf. 401 (4), 03048 (2023).Abdullaev A.A., Safarbayeva N.M., Usmonov B.Z. On the unique solvability of a nonlocal boundary value problem with the Poincar´e condition, E3S Web Conf. 401 (4), 03048 (2023).Abdullayev A.A., Xolbekov J.A., Axralov H. Dirichlet’s problem for a third-order parabolic hyperbolic type equation of the second kind, E3S Web Conf. 401 (2), 03049 (2023).Abdullayev A.A., Xolbekov J.A., Axralov H. Dirichlet’s problem for a third-order parabolic hyperbolic type equation of the second kind, E3S Web Conf. 401 (2), 03049 (2023).Abdullayev A., Hidoyatova M. Exact method to solve finite difference equations of linear heat transfer problems, AIP Conf. Proc. 2402, 070021 (2021).Abdullayev A., Hidoyatova M. Exact method to solve finite difference equations of linear heat transfer problems, AIP Conf. Proc. 2402, 070021 (2021).Abdullayev A., Zhuvanov K., Ruzmetov K. A generalized solution of a modified Cauchy problem of class R2 for a hyperbolic equation of the second kind, J. Phys.: Conf. Ser. 1889 (2), 022121 (2021).Abdullayev A., Zhuvanov K., Ruzmetov K. A generalized solution of a modified Cauchy problem of class R2 for a hyperbolic equation of the second kind, J. Phys.: Conf. Ser. 1889 (2), 022121 (2021).Islomov B.I., Abdullayev A.A. Bitsadze–Samarsky type nonlocal boundary value problem for a second kind mixed equation with a conjugation condition of the frankl type, Lobachevskii J. Math. 45 (3), 1145–1159 (2024).Islomov B.I., Abdullayev A.A. Bitsadze–Samarsky type nonlocal boundary value problem for a second kind mixed equation with a conjugation condition of the frankl type, Lobachevskii J. Math. 45 (3), 1145–1159 (2024).Мирсабурова Д.М. Задача с аналогом условия Франкля и смещения для уравнения Геллерстедта с сингулярным коэффициентом, Изв. вузов. Матем. (6), 37–48 (2024).Мирсабурова Д.М. Задача с аналогом условия Франкля и смещения для уравнения Геллерстедта с сингулярным коэффициентом, Изв. вузов. Матем. (6), 37–48 (2024).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.