On the construction of practically asymptotically optimal weighted cubature formulas of Hermite type in the space of S.L. Sobolev Ḹ2(m) (Sn)

When solving many problems in the theory of approximate integration and differential equations, it is the correct choice of spaces that is the key to success. A very clearly chosen approach was demonstrated in the famous works of S.L. Sobolev on the polyharmonic equation. S.L. Sobolev posed and solved by the variational method the first boundary value problem for the equation ${{\Delta }^{\ell }}u=f$ with boundary conditions on surfaces of various dimensions.

Problems of optimization of approximate integration formulas consist in minimizing the norm of the error functional of the formula on selected normalized spaces, and most of them are considered in the Sobolev space.

Until now, we have considered cubature formulas, with the help of which a definite integral of a function is approximately calculated when the values of this function at individual points of the nodes of the cubature formula are unknown. But more general cubature formulas are possible, which include both the values of the function and the values of its derivatives of one order or another.

If we know not only the values of a function at some points of the $n-$ dimensional unit sphere, but also the values of its derivatives of one order or another, then it is natural that if all this data is used correctly, we can expect a more accurate result than if we use only function values.

This paper examines cubature formulas, which require special attention to the construction of the most economical formulas; according to N.S. Bakhvalov, such formulas are called practical.

1. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул (Наука, М., 1974).

2. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования (Баш.ГУ, Уфа, 1973).

3. Салихов Г.Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер (Фан, Ташкент, 1985).

4. Шарипов Т.Х. Некоторые вопросы теории приближенного интегрирования (Дисс. канд. физ.-матем. наук., Ташкент, 1975).

5. Шадиметов Х.М. Оптимальные решетчатые квадратурные и кубатурные формулы в пространствах Соболева (Дис. док. физ.-матем. наук, Ташкент, 2002).

6. Под ред. Соболева С.Л. Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к некоторым задачам математической физики (Наука, Новосибирск, 1973).

7. Носков М.В. О декартовых произведениях кубатурных формул, Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Наука, Новосибирск, 114–116 (1980).

8. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике (Наука, М., 1988).

9. Никольский С.М. Квадратурные формулы (Наука, М., 1979).

10. Хаитов Т.И. Кубатурные формулы с заданием производных в периодическом случае, ДАН СССР 189 (5), 955–958 (1969).

11. Шайнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных (Дисс. докт. физ.-матем. наук, Улан-Удэ, 1980).

12. Жалолов О.И. Весовые оптимальные по порядку сходимости кубатурные формулы над фактор пространством С.Л. Соболева, Узб. матем. журн. (1), 40–50 (2011).

13. Шадиметов Х.М., Жалолов О.И., Шадманова К.У., Шамсиев Ж.Ш. Оптимальные по порядку сходимости весовые кубатурные формулы типа Эрмита в пространстве , Восточно-европейский науч. журн. 6 (3), 162–166 (2016).

14. Жалолов О. И. Верхняя оценка нормы функционала погрешности кубатурной формулы типа Эрмита в пространстве С.Л. Соболева, Пробл. вычисл. и прикл. матем. (3), 70–78 (2017).

15. Jalolov O.I. The lower bound for the norm of the error functional of lattice cubature formulas in the space Hpmu (omega ), Abstracts VI Inter. sci. conf. Modern problems of the applied mathematics and information technology – Al-Khorezmiy 2018, 149–150 (2018).

16. Khayatov Kh. Algorithm for finding the norm of the error functional of Hermite-type interpolation formulas in the Sobolev space of periodic functions, AIP Conf. Proc. 2781 (1), 020063 (2023), DOI: 10.1063/5.0144842.

17. Жалолов О.И. Вычисление нормы функционала погрешности и построение оптимальных по порядку сходимости весовых кубатурных формул типа Эрмита в пространстве Соболева, Пробл. вычисл. и прикл. матем. 1, 100–105 (2016).

18. Жалолов О.И. Об одном классе оптимальных по порядку сходимости кубатурных формул над , Вопр. вычисл. матем. Сб. науч. тр., Ташкент 125, 57–74 (2010).

19. Jalolov O. Weight optimal order of convergence cubature formulas in Sobolev space, AIP Conf. Proc. 2365 (1), 020014 (2021), DOI: 10.1063/5.0057015.

20. Jalolov O. Weight Optimal Order of Convergence Cubature Formulas in Sobolev Space , AIP Conf. Proc. 2781 (1), 020066 (2023), DOI: 10.1063/5.0144837.

21. Jalolov Ikr. The algorithm for constructing a differential operator of 2nd order and finding a fundamental solution, AIP Conf. Proc. 2365 (1), 020015 (2021), DOI: 10.1063/5.0057025.

22. Jalolov Ikr. Algorithm for constructing a discrete analogue D4 [beta ] of a differential operator, AIP Conf. Proc. 2781 (1), 020041 (2023), DOI: 10.1063/5.0144834.

23. Бахвалов Н.С. Численные методы, Т. 1 (Наука, М., 1973).

24. Шадиметов Х.М., Маматова Н.Х. Составные кубатурные формулы на решетке, Изв. вузов. Матем. (11), 59–74 (2023), DOI: 10.26907/0021-3446-2023-11-59-74.

25. Шадиметов Х.М., Маматова Н.Х. О задаче оптимального интерполирования функций, Изв. вузов. Матем. (12), 59–70 (2023), DOI: 10.26907/0021-3446-2023-12-59-70.