О построении практично-асимптотически оптимальных весовых кубатурных формул типа эрмита в пространстве С.Л. Соболева Ḹ2(m) (Sn)

При решении многих вопросов в теории приближенного интегрировании и дифференциальных уравнений именно правильный выбор пространств является залогом успеха. Очень ярко подобранный подход был продемонстрирован в известных работах С.Л. Соболева по полигармоническому уравнению. С.Л. Соболев поставил и решил вариационным методом первую краевую задачу для уравнения ${{\Delta }^{\ell }}u=f$ с граничными условиями на поверхностях различных размерностей.

Проблемы оптимизации формул приближенного интегрирования заключаются в минимизации нормы функционала погрешности формулы на выбранных нормированных пространствах и большинство из них рассмотрены в пространстве Соболева.

До сих пор мы рассматривали кубатурные формулы, при помощи которых приближенно вычисляется определенный интеграл от функции, когда значения этой функции в отдельных точках узлов кубатурной формулы неизвестны. Но возможны более общие кубатурные формулы, в которые входят как значения функции, так и значения ее производных того или иного порядка.

Если нам известны не только значения функции в некоторых точках $n$-мерной единичной сферы, но и значения ее производных того или иного порядка, то естественно, что при правильном использовании всех этих данных, мы можем ожидать более точный результат, чем в случае использования только значений функции.

В настоящей работе рассматриваются кубатурные формулы, которые требуют особого внимания к построению наиболее экономных формул; по выражению Н.С. Бахвалова такие формулы называются практичными.

1. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул (Наука, М., 1974).

2. Рамазанов М.Д. Лекции по теории приближенного интегрирования (Баш.ГУ, Уфа, 1973).

3. Салихов Г.Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер (Фан, Ташкент, 1985).

4. Шарипов Т.Х. Некоторые вопросы теории приближенного интегрирования (Дисс. канд. физ.-матем. наук., Ташкент, 1975).

5. Шадиметов Х.М. Оптимальные решетчатые квадратурные и кубатурные формулы в пространствах Соболева (Дис. док. физ.-матем. наук, Ташкент, 2002).

6. Под ред. Соболева С.Л. Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к некоторым задачам математической физики (Наука, Новосибирск, 1973).

7. Носков М.В. О декартовых произведениях кубатурных формул, Теория кубатурных формул и вычислительная математика. Наука, Новосибирск, 114–116 (1980).

8. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике (Наука, М., 1988).

9. Никольский С.М. Квадратурные формулы (Наука, М., 1979).

10. Хаитов Т.И. Кубатурные формулы с заданием производных в периодическом случае, ДАН СССР 189 (5), 955–958 (1969).

11. Шайнжуров Ц.Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных (Дисс. докт. физ.-матем. наук, Улан-Удэ, 1980).

12. Жалолов О.И. Весовые оптимальные по порядку сходимости кубатурные формулы над фактор пространством С.Л. Соболева, Узб. матем. журн. (1), 40–50 (2011).

13. Шадиметов Х.М., Жалолов О.И., Шадманова К.У., Шамсиев Ж.Ш. Оптимальные по порядку сходимости весовые кубатурные формулы типа Эрмита в пространстве , Восточно-европейский науч. журн. 6 (3), 162–166 (2016).

14. Жалолов О. И. Верхняя оценка нормы функционала погрешности кубатурной формулы типа Эрмита в пространстве С.Л. Соболева, Пробл. вычисл. и прикл. матем. (3), 70–78 (2017).

15. Jalolov O.I. The lower bound for the norm of the error functional of lattice cubature formulas in the space Hpmu (omega ), Abstracts VI Inter. sci. conf. Modern problems of the applied mathematics and information technology – Al-Khorezmiy 2018, 149–150 (2018).

16. Khayatov Kh. Algorithm for finding the norm of the error functional of Hermite-type interpolation formulas in the Sobolev space of periodic functions, AIP Conf. Proc. 2781 (1), 020063 (2023), DOI: 10.1063/5.0144842.

17. Жалолов О.И. Вычисление нормы функционала погрешности и построение оптимальных по порядку сходимости весовых кубатурных формул типа Эрмита в пространстве Соболева, Пробл. вычисл. и прикл. матем. 1, 100–105 (2016).

18. Жалолов О.И. Об одном классе оптимальных по порядку сходимости кубатурных формул над , Вопр. вычисл. матем. Сб. науч. тр., Ташкент 125, 57–74 (2010).

19. Jalolov O. Weight optimal order of convergence cubature formulas in Sobolev space, AIP Conf. Proc. 2365 (1), 020014 (2021), DOI: 10.1063/5.0057015.

20. Jalolov O. Weight Optimal Order of Convergence Cubature Formulas in Sobolev Space , AIP Conf. Proc. 2781 (1), 020066 (2023), DOI: 10.1063/5.0144837.

21. Jalolov Ikr. The algorithm for constructing a differential operator of 2nd order and finding a fundamental solution, AIP Conf. Proc. 2365 (1), 020015 (2021), DOI: 10.1063/5.0057025.

22. Jalolov Ikr. Algorithm for constructing a discrete analogue D4 [beta ] of a differential operator, AIP Conf. Proc. 2781 (1), 020041 (2023), DOI: 10.1063/5.0144834.

23. Бахвалов Н.С. Численные методы, Т. 1 (Наука, М., 1973).

24. Шадиметов Х.М., Маматова Н.Х. Составные кубатурные формулы на решетке, Изв. вузов. Матем. (11), 59–74 (2023), DOI: 10.26907/0021-3446-2023-11-59-74.

25. Шадиметов Х.М., Маматова Н.Х. О задаче оптимального интерполирования функций, Изв. вузов. Матем. (12), 59–70 (2023), DOI: 10.26907/0021-3446-2023-12-59-70.