|Generate QR code
Open Access
Subscription Access
Coefficient inverse problem for the advection-dispersion equation with fractional derivatives
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2025-4-3-20
Abstract
In this paper, we study the inverse problem of determining the time-dependent coefficient in a one-dimensional fractional order equation with initial-boundary conditions and over-determination conditions. Using the Fourier method, this problem is reduced to equivalent integral equations. Then, using estimates of the Mittag--Leffler function and the method of successive approximations, an estimate of the solution to the direct problem is obtained through the norm of the unknown coefficient, which will be used in the study of the inverse problem. The inverse problem is reduced to an equivalent integral equation. To solve this equation, the contraction mapping principle is used. The results of local existence and uniqueness are proved.
обратная задача; адвекция-дисперсия; дробная производная; функция Мит\-таг-Леффлера; $H$-функция.
About the Authors
D. K. Durdiev
V.I. Romanovsky Institute of Mathematics at the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan$ Bukhara State University
Uzbekistan
Uzbekistan
Durdimurod Kalandarovich Durdiev
9 A University str., Tashkent, 100174$ 11 M. Ikbal str., Bukhara, 200118
I. I. Khasanov
Bukhara State University
Uzbekistan
Uzbekistan
Ibrohkim Ixtiyorovich Khasanov
11 M. Ikbal str., Bukhara, 200118
References
1. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations (Elsevier, Amsterdam, 2006).
2. Учайкин В.В. Метод дробных производных (Изд-во Артишок, Ульяновск, 2008).
3. Псху А.В. Уравнение дробной диффузии с оператором дискретно распредленного дифференцирования, Сиб. электрон. матем. изв. 13, 1078–1098 (2016).
4. Паровик Р.И. Задача Коши для нелокального уравнения диффузии-адвекции радона во фрактальной среде, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки 1 (20), 127–132 (2010).
5. Schumer R., Benson D.A., Meerschaert M.M., Baeumer B. Fractal mobile/immobile solute transport, Water Resour. Res. 39 (10), 1–12 (2003).
6. Дурдиев У.Д. Обратная задача об источнике для уравнения вынужденных колебаний балки, Изв.вузов. Матем. (8), 10–22 (2023).
7. Дурдиев Д.К., Нуриддинов Ж.З. Единственность задачи определения ядра в интегродифференциальном параболическом уравнении с переменными коэффициентами, Изв. вузов. Матем. (11), 3–14 (2023).
8. Акрамова Д.И. Обратная коэффициентная задача для дробно-диффузионного уравнения с оператором Бесселя, Изв. вузов. Матем. (9), 45–57 (2023).
9. Хасанов И.И., Акрамова Д.И., Рахмонов А.А. Исследование задачи Коши для одного уравнения дробного порядка с оператором Римана–Лиувилля, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки 27 (1), 64–80 (2023).
10. Herrmann R. Fractional Calculus – An Introduction for Physicists, 2nd ed. (World Sci. Publ., Singapore, 2014).
11. Hilfer R. Applications of Fractional Calculus in Physics (World Sci. Publ., Singapore, 2000).
12. Podlubny I. Fractional Differential Equations Mathematic in Science and Engineering (Academic Press, New York, 1999).
13. West B.J., Bologna M., Grigolini P. Physics of Fractal Operators (Springer-Verlag, New York, 2003).
14. Дурдиев У.Д. Задача об определении коэффициента реакции в дробном уравнении диффузии, Дифференц. уравнения 57 (9), 1220–1229 (2021).
15. Durdiev D.K., Jumaev J.J. Inverse Coefficient Problem for a Time-Fractional Diffusion Equation in the Bounded Domain, Lobachevskii J. Math. 44 (2), 548–557 (2023).
16. Дурдиев Д.К. Об определении коэффициента уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с нехарактеристической линией изменения, Дифференц. уравнения 58 (12), 1633–1644 (2022).
17. Турдиев Х.Х. Обратные коэффициентные задачи для временно-дробного волнового уравнения с обобщенной производной Римана–Лиувилля по времени, Изв. вузов. Матем. (10), 46–59 (2023).
18. Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse Coefficient Problem for Fractional Wave Equation with the Generalized Riemann–Liouville Time Derivative, Math. Meth. Appl. Sci. (2023), DOI: 10.1002/mma.9867.
19. Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse Coefficient Problem for Fractional Wave Equation with the Generalized Riemann–Liouville Time Derivative, Indian J. Pure Appl. Math. (2023), DOI: 10.1007/s13226-023-00517-9.
20. Zhang Y., Benson D.A., Reeves D.M. Time and space nonlocalities underlying fractional-derivative models: Distinction and literature review of field applications, Adv. Water Resources 32 (4), 561–581 (2009).
21. Benson D.A., Wheatcraft S.W., Meerschaert M.M. The fractional-order governing equation of L´evy Motion, Water Resour. Res. 36 (6), 1413–1423 (2000).
22. Giusti A., Colombaro I., Garra R., Garrappa R., Polito F., Popolizio M. A Practical Guide to Prabhakar Fractional Calculus, Fract. Calc. Appl. Anal. 23, 9–54 (2020).
23. Tomovski Z., Hilfer R. and Srivastava H.M. Fractional and operational calculus with generalized fractional derivatives operators and Mittag-Leffler type functions, Integral Transform. Spec. Funct. 21 (11), 797–814 (2010).
24. Паровик Р. И. Метод функции Грина для одного дифференциального уравнения дробного порядка, Вестн. КРАУНЦ. Физ.-матем. науки 1 (1), 17–23 (2010).
25. Durdiev D., Shishkina E., Sitnik S. The Explicit Formula for Solution of Anomalous Diffusion Equation in the Multi-Dimensional Space, Lobachevskii J. Math. 42 (6), 1264–1273 (2021).
26. Durdiev D.K., Shishkina E.L., Rahmonov A.A. he explicit formula for a solution of wave differential equation with fractional derivatives in the multi-dimensional space, T. Bull. Inst. Math. 5 (2), 1–12 (2022).
27. Sultanov M.A., Durdiev D.K., Rahmonov A.A. Construction of an Explicit Solution of a Time-Fractional Multidimensional Differential Equation, Math. 9 (17), 2052 (2021).
28. Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S. Mittag–Leffler Functions, Related Topics and Applications (Springer-Verlag, Berlin, 2014).
29. Mathai A.M., Saxena R.K., Haubold H.J. The H-function. Theory and Application (Springer, Dordrecht, 2010).
30. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (Физматлит, М., 2004).
Review
For citations:
Durdiev D.K., Khasanov I.I. Coefficient inverse problem for the advection-dispersion equation with fractional derivatives. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2025;(4):3-20. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2025-4-3-20
Views:
45
Email this article 