|Generate QR code
Open Access
Subscription Access
On local bifurcations in nonlinear continuous-discrete dynamical systems
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2025-2-3-14
Abstract
The dynamics of nonlinear continuous-discrete (hybrid) systems and its dependence on the sampling step h are studied. Such systems contain phase variables and equations with both continuous and discrete time. The main focus of the work is the issue of local bifurcations during loss of stability of equilibrium points of hybrid systems. Sufficient signs of bifurcations are given, the properties of bifurcations are studied, and possible bifurcation scenarios are determined. The concept of transversal bifurcation is introduced, meaning that the corresponding eigenvalue of the matrix of the linearized problem passes through the unit circle when the parameter h passes through the bifurcation point h0. It is shown that in a one-parameter formulation, two main scenarios are typical: transversal bifurcation of period doubling and transversal Andronov-Hopf bifurcation, while the scenario of transversal bifurcation of multiple equilibrium, as a rule, is not realized. Examples are given to illustrate the effectiveness of the proposed approaches in the problem of studying bifurcations in hybrid systems.
About the Authors
S. V. Akmanova
Nosov Magnitogorsk State Technical University
Russian Federation
Russian Federation
Svetlana V. Akmanova.
38 Lenina str., Magnitogorsk, 455000
M. G. Yumagulov
Ufa University of Science and Technology
Russian Federation
Russian Federation
Marat G. Yumagulov.
32 Z. Validi str., Ufa, 450076
References
1. Максимов В.П., Чадов А.Л. Гибридные модели в задачах экономической динамики, Вестн. Пермск. ун-та 2 (9), 13–23 (2011).
2. Марченко В.М., Борковская И.М. О стабилизации скалярных гибридных дифференциально-разностных систем, Тр. БГТУ, Сер. 3: Физ. матем. науки и информатика. 1 (230), 5–13 (2020).
3. Логунова О.С., Агапитов Е.Б., Баранкова И.И., Андреев С.М., Чусавитина Г.Н. Математические модели для исследования теплового состояния тел и управления тепловыми процессами, Электротехнические системы и комплексы 2 (43), 25–34 (2019).
4. Лакрисенко П.А. Об устойчивости положений равновесия нелинейных гибридных механических систем, Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер.10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр., 3, 116–125 (2015).
5. Васильев С.Н., Маликов А.И. О некоторых результатах по устойчивости переключаемых и гибридных систем, в сб. : Актуальные проблемы механики сплошной среды. К 20-летию ИММ КазНЦ РАН, 23–81 (Фолиант, Казань, 2011).
6. Симонов П.М. Устойчивость и асимптотически периодические решения гибридных систем с последействием, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз. 168, ВИНИТИ РАН, М., 91–98 (2019).
7. Бортаковский А.С. Достаточные условия оптимальности управления переключаемыми системами, Изв. РАН. Теория и системы управления 4, 86–103 (2017).
8. Branicky M.S. Multiple Lyapunov Functions and Other Analysis Tools for Switched and Hybrid Systems, IEEE Trans. Automat. Contr. 43 (4), 475–482 (1998).
9. Liberzon D. Switching in Systems and Control (Birkhäuser, Boston, 2003).
10. Юмагулов М.Г., Акманова С.В. Устойчивость и бифуркации непрерывно-дискретных динамических систем с постоянным шагом дискретизации, Вестн. Башкирск. ун-та 26 (4), 862–865 (2021).
11. Юмагулов М.Г., Акманова С.В. Первые ляпуновские величины и основные сценарии бифуркаций для неавтономных периодических динамических систем, Вестн. Башкирск. ун-та 26 (3), 560–564 (2021).
12. Юмагулов М.Г., Акманова С.В. Об устойчивости точек равновесия нелинейных непрерывно-дискретных динамических систем, Уфимск. матем. журн. 15 (2), 85–100 (2023 ).
13. Akmanova S.V., Kopylova N.A. The Stability of Continuous-Discrete Dynamical Systems under Fast Switching, Lobachevskii J. Math. 44 (5), 1826–1832 (2023).
14. Акманова С.В. Асимптотическая устойчивость и бифуркации нелинейных непрерывно-дискретных динамических систем, в сб. : Уфимская осенняя математическая школа–2021: Матер. межд. науч. конф., Уфа, Т. 2, 10–12 (Аэтерна, Уфа, 2021).
15. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л., Методы качественной теории о нелинейной динамике, Ч. 2 (Ин-т компьютерных исслед., М.–Ижевск, 2009).
16. Юмагулов М.Г. Введение в нелинейную динамику: теория, приложения, модели (Лань, СПб., 2022).
17. Юмагулов М.Г., Ибрагимова Л.С., Белова А.С. Методы теории возмущений в задаче о параметрическом резонансе для линейных периодических гамильтоновых систем, Уфимск. матем. журн. 13 (3), 178–195 (2021).
18. Вышинский А.А., Ибрагимова Л.С., Муртазина С.А., Юмагулов М.Г. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах, Уфимск. матем. журн. 2 (4), 3–26 (2010).
19. Юмагулов М.Г., Акманова С.В. О качественных характеристиках точек равновесия и циклов непрерывно-дискретных систем, в сб. : Теория управления и математическое моделирование: Матер. Всероссийск. конф. с межд. участием, посвящ. памяти проф. Н.В. Азбелева и проф. Е.Л. Тонкова, Ижевск, 142–145 (Изд. центр “Удмурдск. ун-т”, Ижевск, 2022).
20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (Наука, М., 1988).
21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов (Мир, М., 1972).
22. Гусарова Н.И., Муртазина С.А., Фазлытдинов М.Ф., Юмагулов М.Г. Операторные методы вычисления ляпуновских величин в задачах о локальных бифуркациях динамических систем, Уфимск. матем. журнал 10 (1), 25–49 (2018).
Review
For citations:
Akmanova S.V., Yumagulov M.G. On local bifurcations in nonlinear continuous-discrete dynamical systems. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2025;(2):3-14. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2025-2-3-14
Views:
119
Email this article 