Безусловная сходимость разностей ядер Фейера на L2 (R)

Аннотация

Пусть $K_n(x)$ --- ядро Фейера, заданное формулой 
$$K_n(x)=\sum_{j=-n}^n\left(1-\frac{|j|}{n+1}\right)e^{-ijx},$$
и $\sigma_nf(x)=(K_n\ast f)(x)$, где  $f\ast g$ обозначает свертку  $f$ и  $g$. Пусть последовательность $\{n_k\}$ лакунарна. Тогда ряд 
$$\mathcal{G}f(x)=\sum_{k=1}^\infty \left(\sigma_{n_{k+1}}f(x)-\sigma_{n_k}f(x)\right)$$ 
сходится безусловно для любой $f\in L^2(\mathbb{R})$.
Пусть $(n_k)$ --- лакунарная последовательность и  $\{c_k\}_{k=1}^\infty \in \ell^\infty$. Положим 
$$\mathcal{R}f(x)=\sum_{k=1}^\infty c_k\left(\sigma_{n_{k+1}}f(x)-\sigma_{n_k}f(x)\right).$$ 
Тогда существует константа $C>0$ такая, что 
$$\|\mathcal{R}f\|_2\leq C\|f\|_2$$
для всех $f\in L^2(\mathbb{R})$, т.\,е. $\mathcal{R}f$ имеет сильный тип $(2,2)$. Как частный случай, отсюда следует, что $\mathcal{G}f$ также имеет сильный тип $(2,2)$.