О бесконечных спектрах показателей колеблемости линейных дифференциальных уравнений третьего порядка

Тематика исследования данной работы находится на стыке теории показателей Ляпунова и теории колеблемости. Изучаются спектры (т. е. множества различных значений на ненулевых решениях) показателей колеблемости знаков (строгих и нестрогих), нулей, корней и гиперкорней линейных однородных дифференциальных уравнений с непрерывными на положительной полуоси коэффициентами. В первой части работы конструктивно построено дифференциальное уравнение третьего порядка, обладающая тем свойством, что ее спектры всех верхних и нижних сильных и слабых показателей колеблемости строгих и нестрогих знаков, нулей, корней и гиперкорней содержат счетное множество различных существенных значений, причем как метрически, так и топологически. Более того, все эти значения реализованы на одной и той же последовательности решений построенного уравнения, т. е. для каждого решения из этой последовательности все перечисленные выше показатели колеблемости совпадают между собой. При построении указанного уравнения и доказательстве требуемых результатов использованы аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений и методы теории возмущений решений линейных дифференциальных уравнений, в частности, авторская методика управления фундаментальной системой решений таких уравнений в одном частном случае. Во второй части работы доказано существование дифференциального уравнения третьего порядка с континуальными спектрами показателей колеблемости. При этом спектры всех показателей колеблемости заполняют один и тот же отрезок числовой оси с наперед заданными произвольными положительными несоизмеримыми концами. Оказалось, что для каждого решения построенного уравнения все показатели колеблемости совпадают между собой. Полученные результаты носят теоретический характер, они расширяют наши представления о возможных спектрах показателей колеблемости линейных однородных дифференциальных уравнений.

1. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения, Тр. сем. им. И. Г. Петровского 25, 249–294 (2006).

2. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы, Изв. РАН. Сер. матем. 76 (1), 149–172 (2012).

3. Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем, Матем. сб. 204 (1), 119–138 (2013).

4. Сергеев И.Н. Ляпуновские характеристики колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем, Тр. сем. им. И. Г. Петровского 31, 177–219 (2016).

5. Сташ А. Х. Об отсутствии свойства остаточности у сильных показателей колеблемости линейных систем, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Механ. Компьют. науки 31 (1), 59–69 (2021).

6. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений. I, Дифференц. уравнения 52 (10), 1302–1320 (2016).

7. Быков В.В. О бэровской классификации частот Сергеева нулей и корней решений линейных дифференциальных уравнений, Дифференц. уравнения 52 (4), 419–425 (2016).

8. Бурлаков Д.С., Цой С.В. Совпадение полной и векторной частот решений линейной автономной системы, Тр. сем. им. И. Г. Петровского 30, 75–93 (2014).

9. Сташ А.Х. Свойства показателей колеблемости решений линейных автономных дифференциальных систем, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Механ. Компьют. науки 29 (4), 558–568 (2019).

10. Сергеев И.Н. Метрически типичные и существенные значения показателей линейных систем, Дифференц. уравнения 47 (11), 1661–1662 (2011).

11. Сергеев И.Н. Топологически типичные и существенные значения показателей линейных систем, Дифференц. уравнения 48 (11), 1567–1568 (2012).

12. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. Cпектры верхних частот Сергеева нулей и знаков линейных дифференциальных уравнений, Докл. НАН Беларуси 60 (1), 24–31, (2016).

13. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений. II, Дифференц. уравнения 52 (12), 1595–1609 (2016).

14. Войделевич А.С. О спектрах верхних частот Сергеева линейных дифференциальных уравнений, Журн. Белорусск. гос. ун-та. Матем. Информатика (1), 28–32 (2019).

15. Горицкий А. Ю., Фисенко Т. Н. Характеристические частоты нулей суммы двух гармонических колебаний, Дифференц. уравнения 48 (4), 479–486 (2012).

16. Смоленцев М.В. Пример периодического дифференциального уравнения третьего порядка, спектр частот которого содержит отрезок, Дифференц. уравнения 50 (10), 1413–1417 (2014).

17. Сташ А.Х. О существовании линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальными спектрами полной и векторной частот, Вестн. Адыг. гос. ун-та. Сер. Естеств.-матем. и техн. науки 122 (3), 9–17 (2013).

18. Смоленцев М.В. Существование линейного уравнения третьего порядка со счетным спектром частот, Тр. сем. им. И.Г. Петровского 30, 242–251 (2014).

19. Сташ А.Х. О существенных значениях характеристик колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка, Вестн. Адыг. гос. ун-та. Сер. Естеств.-матем. и техн. наук. 119 (2), 9–23 (2013).

20. Сташ А.Х. О спектрах полных и векторных частот линейных дифференциальных уравнения третьего порядка, Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 30, 252–269 (2014).

21. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (М.: Едиториал УРСС, 2004).

22. Сергеев И.Н. Дифференциальные уравнения (М.: Издат. центр «Академия», 2013).