On infinite spectra of oscillation exponents of third order linear differential equations
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-4-47-66
Abstract
The research topic of this work is at the junction of the theory of Lyapunov exponents and oscillation theory. In this paper, we study the spectra (i.e., the sets of different values on nonzero solutions) of the exponents of oscillation of signs (strict and nonstrict), zeros, roots, and hyperroots of linear homogeneous differential equations with coefficients continuous on the positive semi-axis. In the first part of the paper, we build a third order linear differential equation with the following property: the spectra of all upper and lower strong and weak exponents of oscillation of strict and non-strict signs, zeros, roots and hyper roots contain a countable set of different essential values, both metrically and topologically. Moreover, all these values are implemented on the same sequence of solutions of the constructed equation, that is, for each solution from this sequence, all of the oscillation exponents coincide with each other. In the construction of the indicated equation and in the proof of the required results, we used analytical methods of the qualitative theory of differential equations and methods from the theory of perturbations of solutions of linear differential equations, in particular, the author’s technique for controlling the fundamental system of solutions of such equations in one special case. In the second part of the paper, the existence of a third order linear differential equation with continuum spectra of the oscillation exponents is established, wherein the spectra of all oscillation exponents fill the same segment of the number axis with predetermined arbitrary positive incommensurable ends. It turned out that for each solution of the constructed differential equation, all of the oscillation exponents coincide with each other. The obtained results are theoretical in nature, they expand our understanding of the possible spectra of oscillation exponents of linear homogeneous differential equations.
About the Author
A. Kh. Aydamir Khazretovich Stash
Adyghe State University
Russian Federation
Russian Federation
208 Pervomayskaya str., Maykop, 385000
References
1. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения, Тр. сем. им. И. Г. Петровского 25, 249–294 (2006).
2. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы, Изв. РАН. Сер. матем. 76 (1), 149–172 (2012).
3. Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем, Матем. сб. 204 (1), 119–138 (2013).
4. Сергеев И.Н. Ляпуновские характеристики колеблемости, вращаемости и блуждаемости решений дифференциальных систем, Тр. сем. им. И. Г. Петровского 31, 177–219 (2016).
5. Сташ А. Х. Об отсутствии свойства остаточности у сильных показателей колеблемости линейных систем, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Механ. Компьют. науки 31 (1), 59–69 (2021).
6. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений. I, Дифференц. уравнения 52 (10), 1302–1320 (2016).
7. Быков В.В. О бэровской классификации частот Сергеева нулей и корней решений линейных дифференциальных уравнений, Дифференц. уравнения 52 (4), 419–425 (2016).
8. Бурлаков Д.С., Цой С.В. Совпадение полной и векторной частот решений линейной автономной системы, Тр. сем. им. И. Г. Петровского 30, 75–93 (2014).
9. Сташ А.Х. Свойства показателей колеблемости решений линейных автономных дифференциальных систем, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Механ. Компьют. науки 29 (4), 558–568 (2019).
10. Сергеев И.Н. Метрически типичные и существенные значения показателей линейных систем, Дифференц. уравнения 47 (11), 1661–1662 (2011).
11. Сергеев И.Н. Топологически типичные и существенные значения показателей линейных систем, Дифференц. уравнения 48 (11), 1567–1568 (2012).
12. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. Cпектры верхних частот Сергеева нулей и знаков линейных дифференциальных уравнений, Докл. НАН Беларуси 60 (1), 24–31, (2016).
13. Барабанов Е.А., Войделевич А.С. К теории частот Сергеева нулей, знаков и корней решений линейных дифференциальных уравнений. II, Дифференц. уравнения 52 (12), 1595–1609 (2016).
14. Войделевич А.С. О спектрах верхних частот Сергеева линейных дифференциальных уравнений, Журн. Белорусск. гос. ун-та. Матем. Информатика (1), 28–32 (2019).
15. Горицкий А. Ю., Фисенко Т. Н. Характеристические частоты нулей суммы двух гармонических колебаний, Дифференц. уравнения 48 (4), 479–486 (2012).
16. Смоленцев М.В. Пример периодического дифференциального уравнения третьего порядка, спектр частот которого содержит отрезок, Дифференц. уравнения 50 (10), 1413–1417 (2014).
17. Сташ А.Х. О существовании линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальными спектрами полной и векторной частот, Вестн. Адыг. гос. ун-та. Сер. Естеств.-матем. и техн. науки 122 (3), 9–17 (2013).
18. Смоленцев М.В. Существование линейного уравнения третьего порядка со счетным спектром частот, Тр. сем. им. И.Г. Петровского 30, 242–251 (2014).
19. Сташ А.Х. О существенных значениях характеристик колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка, Вестн. Адыг. гос. ун-та. Сер. Естеств.-матем. и техн. наук. 119 (2), 9–23 (2013).
20. Сташ А.Х. О спектрах полных и векторных частот линейных дифференциальных уравнения третьего порядка, Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 30, 252–269 (2014).
21. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений (М.: Едиториал УРСС, 2004).
22. Сергеев И.Н. Дифференциальные уравнения (М.: Издат. центр «Академия», 2013).
Review
For citations:
Aydamir Khazretovich Stash A.Kh. On infinite spectra of oscillation exponents of third order linear differential equations. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2024;(4):47-66. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-4-47-66
Views:
92
Email this article 