Investigation of the asymptotics of the eigenvalues of a second order quasidifferential boundary value problem

We construct the asymptotics of the eigenvalues for a quasidifferential Sturm-Liouville boundary value problem on eigenvalues and eigenfunctions considered on a segment J=[a,b], with the boundary conditions of type I on the left - type I on the right, i.e., for a problem of the form (in the explicit form of record) p22(t)(p11(t)(p00(t)x(t))′+p10(t)(p00(t)x(t)))′+p21(t)(p11(t)(p00(t)x(t))′+p10(t)(p00(t)x(t)))+ +p20(t)(p00(t)x(t))=−λ(p00(t)x(t))(t∈J=[a,b]), p00(a)x(a)=p00(b)x(b)=0. The requirements for smoothness of the coefficients (i.e., functions pik(⋅):J→R,k∈0:i,i∈0:2) in the equation are minimal, namely, these are: functions pik(⋅):J→R are such that functions p00(⋅) and p22(⋅) are measurable, nonnegative, almost everywhere finite and almost everywhere nonzero, functions p11(⋅) and p21(⋅) are also nonnegative on segment J, and in addition, functions p11(⋅) and p22(⋅) are essentially bounded on J, functions 1p11(⋅),p10(⋅)p11(⋅), p20(⋅)p22(⋅),p21(⋅)p22(⋅),1min{p11(t)p22(t),1} are summable on segment J. Function p20(⋅) acts as a potential. It is proved that under the condition of nonoscillation of a homogeneous quasidifferential equation of the second order on J, the asymptotics of the eigenvalues of the boundary value problem under consideration has the form \lambda_k=\big(\pi k\big)^2 \Big(D+O\big({1}\big{/}{k^2}\big)\Big) as k→∞, where D is a real positive constant defined in some way.

1. Левитан Б.М., Саргсян И.С. "Некоторые вопросы теории уравнения Штурма-Лиувилля", УМН 15 (1(91)), 3-98 (1960).

2. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию (Наука, М., 1970).

3. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения (Наук. думка, Киев, 1977).

4. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений (самосопряжённые обыкновенные дифференциальные операторы) (Наука, М., 1979).

5. Садовничий В.А. Теория операторов (Изд-во МГУ, М., 1986).

6. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака (Наука, М., 1988).

7. Винокуров В.А., Садовничий В.А. "Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом", Изв. РАН, Сер. Матем. 64 (4), 47-108 (2000).

8. Савчук А.М., Шкаликов А.А. "Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами", Матем. заметки 66 (6), 897-912 (1999).

9. Савчук А.М. "О собственных значениях и собственных функциях оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом", Матем. заметки 69 (2), 277-285 (2001).

10. Савчук А.М., Шкаликов А.А. "Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями", Тр. Московск. матем. об-ва 64, 159-212 (2003).

11. Конечная Н.Н., Сафонова Т.А., Тагирова Р.Н. "Асимптотика собственных значений и регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с δ-потенциалом", Вестн. САФУ. Сер. Естеств. науки (1), 104-113 (2016).

12. Сафонова Т.А., Рябченко С.В. "О собственных значениях оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом", Вестн. САФУ. Сер. Естеств. науки (2), 115-125 (2016).

13. Покорный Ю.В., Прядиев В.Л. "Некоторые вопросы качественной теории Штурма-Лиувилля на пространственной сети", УМН 59 (3(357)), 115-150 (2004).

14. Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Ищенко А.С., Шабров C.А. "О нерегулярном расширении осцилляционной теории спектральной задачи Штурма-Лиувилля", Матем. заметки 82 (4), 578-582 (2007).

15. Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Шабров C.А. "Осцилляционная теория Штурма-Лиувилля для импульсных задач", УМН 63 (1(379)), 111-154 (2008).

16. Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты (ИНТУИТ, М, 2009).

17. Митрохин С.И. "О спектральных свойствах многоточечной краевой задачи для дифференциального оператора нечетного порядка с суммируемым потенциалом", Arctic Environmental Research 17 (4), 376-392 (2017).

18. Митрохин С.И. "Асимптотика собственных значений дифференциального оператора со знакопеременной весовой функцией", Изв. вузов. Матем. (6), 31-47 (2018).

19. Митрохин С.И. "Об асимптотике собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка со знакопеременной весовой функцией", Вестн. Московск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. (6), 46-58 (2018).

20. Митрохин С.И. "Асимптотика спектра дифференциального оператора четного порядка с разрывной весовой функцией", Журн. СВМО 22 (1), 48-70 (2020).

21. Шин Д.Ю. "О решениях линейного квазидифференциального уравнения n-го порядка", Матем. сб. 7(49) (3), 479-532 (1940).

22. Шин Д.Ю. "О квазидифференциальных операторах в гильбертовом пространстве", Матем. сб. 13(55) (1), 39-70 (1943).

23. Xiao xia Lv, Ji-jun Ao, Zettl A. "Dependence of eigenvalues of fourth-order differential equations with discontinuous boundary conditions on the problem", J. Math. Anal. Appl. 456 (1), 671-685 (2017).

24. "Characterization of self-adjoint domains for regular even order C-symmetric differential operators", Electronic J. Qual. Theory Diff. Equat. 62, 1-17 (2019).

25. Zettl A. "Sturm-Liouville Theory", Amer. Math. Soc. 121 (2005).

26. Zettl A. Recent Developments in Sturm-Liouville Theory (De Gruyter, Berlin-Boston, 2021).

27. Jianfang Qin, Kun Li, Zhaowen Zheng, Jinming Cai "Dependence of eigenvalues of discontinuous fourth-order differential operators with eigenparameter dependent boundary conditions", J. Nonlinear Math. Phys. 29 (4), 776-793 (2022).

28. Everitt W.N., Marcus L. "Boundary value problems and symplectic algebra for ordinary differential and quasi-differential operators", Amer. Math. Soc. 61 (1999).

29. Eckhardt J., Gestezy F., Nichols R., Teschl G. "Weyl-Titchmarsh theory for Sturm-Liuville operators with distributional potentials", Opuscula Math. 33 (3), 467-563 (2013).

30. Everitt W.N., Race D. "The regular representation of singular second order differential expressions using quasi-derivatives", Proc. London Math. Soc. (3) 65 (2), 383-404 (1992).

31. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы (Наука, М., 1969).

32. Дерр В.Я. "Неосцилляция решений линейного квазидифференциального уравнения", Изв. ин-та матем. и информ. УдГУ (1(16)), 3-105 (1999).

33. Дерр В.Я. "Об адекватном описании сопряженного оператора", Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Механ. Компьют. науки (3), 43-63 (2011).

34. Ватолкин М.Ю., Дерр В.Я. "О представлении решений квазидифференциального уравнения", Изв. вузов. Матем. (10), 27-34 (1995).