Асимптотическое поведение решений неоднородного уравнения Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-1-35-49
Аннотация
В работе изучается поведение ограниченных решений неоднородного уравнения Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях при вариации правой части уравнения. Различные задачи для однородных эллиптических уравнений, в частности уравнения Лапласа–Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера, рассматривались рядом российских и зарубежных авторов начиная со второй половины XX-го века. В первой части данной работы будет развит подход к постановке краевых задач, основанный на введении классов эквивалентных функций, установлена взаимосвязь разрешимости краевых задач на произвольном некомпактном римановом многообразии при вариации неоднородности. Во второй части работы, основываясь на результатах первой части, исследуются свойства решений неоднородного уравнения Шрёдингера на квазимодельных многообразиях, а также найдены точные условия однозначной разрешимости задачи Дирихле и некоторых других краевых задач на данных многообразиях.
Об авторах
Е. А. Мазепа
Волгоградский государственный университет
Россия
Россия
Елена Алексеевна Мазепа
пр-т Университетский, д. 100, г. Волгоград, 400062
Д. К. Рябошлыкова
Волгоградский государственный университет
Россия
Россия
Дарья Константиновна Рябошлыкова
пр-т Университетский, д. 100, г. Волгоград, 400062
Список литературы
1. Grigor’yan A. Analitic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 36 (2), 135–249 (1999).
2. Ancona A. Negative curved manifolds, elliptic operators, and the Martin boundary, Ann. Math. 125 (3), 495–536 (1987).
3. Корольков С.А. О разрешимости краевых задач для стационарного уравннеия Шрёдинегра в неограниченных областях римановых многообразий, Дифференц. уравнения 51 (6), 726–732 (2015).
4. Мазепа Е.А. Краевые задачи для стационарного уравнения Шрёдингера на римановых многообразиях, Сиб. матем. журн. 43 (3), 591–599 (2002).
5. Losev A.G., Mazepa E.A., Chebanenko V.Y. Unbounded solutions of the Stationary Shr¨odinger equation on Riemannian manifolds, Comput. Methods and Funct. Theory 3 (2), 443–451 (2003).
6. Anderson M.T. The Dirichlet problem at infinity for manifolds of negative curvature, J. Diff. Geom. 18 (4), 701–721 (1983).
7. Sullivan D. The Dirichlet problem at infinity for a negatively curved manifold, J. Diff. Geom. 18 (4), 723–732 (1983).
8. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на римановых произведениях, Алгебра и анализ 13 (1), 84–110 (2001).
9. Лосев А.Г., Филатов В.В. Ограниченные решения стационарного уравнения Шрёдингера с конечным интегралом энергии на модельных многообразиях, Матем. физ. и компьют. моделирование 24 (3), 5–17 (2021).
10. Murata M. Positive harmonic functions on rotationary symmetric Riemannian manifolds, Potential Theory (Proc. Intern. Conf., Nagoya/Japan, 1992).
11. Ni L., Shi Y., Tam L-F. Poisson equation, Poincare–Lelong equation and the curvature decay on complete Kahler manifolds, J. Diff. Geom. 57, 339–388 (2001).
12. Grigor’yan A., Verbitsky I. Pointwise estimates of solutions to semilinear elliptic equations and inequalities, J. d’Analyse Math´ematique 137 (2), 559–601 (2019).
13. Munteanu O., Sesum N. The Poisson equation on complete manifolds with positive spectrum and applications, Adv. Math. 223 (1), 198–219 (2010).
14. Mastrolia P., Monticelly D.D., Punzo F. Elliptic and parabolic equations with Dirichlet conditions at infinity on Riemannian manifolds, Adv. Diff. Equat. 23 (1/2), 89–108 (2018).
15. Лосев А.Г. О разрешимости задачи Дирихле для уравнения Пуассона на некоторых некомпактных римановых многообразиях, Дифференц. уравнения 53 (12), 1643–1652 (2017).
16. Мазепа E.A. О разрешимости краевых задач для уравнения Пуассона на некомпактных римановых многообразиях, Матем. физика и компьют. моделирование 20 (3), 136–147 (2017).
17. Losev A.G., Mazepa E.A. On solvability of the boundary value problems for the inhomogeneous elliptic equations on noncompact Riemannian manifolds, Пробл. анал. Issues Anal. 7 (25), Спецвыпуск, 101–112 (2018).
18. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях специального вида, ДАН 367 (2), 166–167 (1999).
19. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Об асимптотическом поведении решенеий некоторых уравнений эллиптического типа на некомпактных римановых многообразиях, Изв. вузов. Матем. (6), 41–49 (1999).
20. Григорьян А.А., Надирашвили Н.С. Лиувиллевы теоремы и внешние краевые задачи, Изв. вузов. Матем. (5), 25–33 (1987).
21. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка (Наука, М., 1989).
Рецензия
Для цитирования:
Мазепа Е.А., Рябошлыкова Д.К. Асимптотическое поведение решений неоднородного уравнения Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях. Известия высших учебных заведений. Математика. 2024;(1):35-49. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-1-35-49
For citation:
Mazepa E.A., Ryaboshlikova D.K. Symptotic behavior of solutions of the inhomogeneous Schrödinger equation on noncompact Riemannian manifolds. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2024;(1):35-49. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2024-1-35-49
Просмотров:
138
Послать статью по эл. почте 