О полу-нильчистых кольцах и их приложениях

Исследуется понятие полу-нилнчистых колец, определяемых как кольца, в ко­торых каждый элемент может быть выражен как сумма периодического и нильпотентного элементов. Среди полученных результатов устанавливается, что если R — полу-нильчистое NI-кольцо, то R периодическое. Кроме того, показывается, что групповое кольцо RG ниль­потентной группы G над слабо 2-примальным кольцом R является полу-нильчистым тогда и только тогда, когда R периодическое, а группа G локально конечная.

Более того, изучаются кольца (называемые единично полу-нильчистыми), в которых каж­дый единичный элемент является суммой периодического и нильпотентного элементов. Важ­ным результатом является то, что если R — алгебраическая алгебра над полем, то R является единично полу-нильчистым тогда и только тогда, когда R периодическое.

Кроме того, исследуются кольца (называемые t-точными), в которых ненулевые элементы являются суммой элемента кручения и нильпотентного элемента, они составляют собствен­ный подкласс класса всех точных колец. Одним из основных результатов в этом аспекте явля­ется то, что матричные кольца над t-точными кольцами снова являются t-точными кольцами, что усиливает результат, полученный Г. Кэлугэряну и Т.Н. Ламом в 2016 г.

1. Chen H., Sheibani M. Theory of Clean Rings and Matrices (Word Sci. Publ. Co., 2022).

2. Ster J. ˇ On expressing matrices over Z2 as the sum of an idempotent and a nilpotent, Linear Algebra Appl. 544 (10), 339–349 (2018).

3. Bisht N. Semi-nil clean rings, Palest. J. Math. 12 (3), 1–6 (2023).

4. Ye Y. Semiclean rings, Commun. Algebra 31 (11), 5609–5625 (2003).

5. Bien M.H., Danchev P.V., Ramezan-Nassab M. Rings additively generated by periodic elements, J. Algebra Appl. 25 (2), 2550322 (2026). DOI: 10.1142/S0219498825503220.

6. Cˇalugˇareanu G., Lam T.Y. Fine rings: a new class of simple rings, J. Algebra Appl. 15 (9), 1650173 (2016).

7. Atiyah M.F., MacDonald I.G. Introduction to Commutative Algebra (Addison-Wesley, 1969).

8. Danchev P.V., Lam T.-Y. Rings with unipotent units, Publ. Math. Debrecen 88 (3–4), 449–466 (2016).

9. Bouzidi A.D., Cherchem A., Leroy A. Exponents of skew polynomials over periodic rings, Commun. Algebra 49 (4), 1639–1655 (2021).

10. Herstein I.N. A note on rings with central nilpotent elements, Proc. Am. Math. Soc. 5, 620 (1954).

11. Bell H.E., Klein A.A. On finiteness, commutativity and periodicity in rings, Math. J. Okayama Univ. 35, 181–188 (1993).

12. Ying Z., Ko¸san T., Zhou Y. Rings in which every element is a sum of two tripotents, Canad. Math. Bull. 59(3), 661–672 (2016).

13. Cui J., Danchev P.V. Some new characterizations of periodic rings, J. Algebra Appl. 19 (12), 205235 (2020).

14. Bell H.E., Tominaga H. On periodic rings and related rings, Math. J. Okayama Univ. 28 (1), 101–103 (1986).

15. Khurana D. Lifting potent elements modulo nil ideals, J. Pure Appl. Algebra 225 (11), 106762 (2021).

16. Klein A.A., Bell H.E. Rings with finitely many nilpotent elements, Commun. Algebra 22 (1), 349–354 (1994).

17. Abyzov A.N., Barati R., Danchev P.V. Rings close to periodic with applications to matrix, endomorphism and group rings, Commun. Algebra 52 (5), 1832–1852 (2024).

18. Hirano Y. On periodic P.I. rings and locally finite rings, Math. J. Okayama Univ. 33, 115–120 (1991).

19. Nicholson W.K. Lifting idempotents and exchange rings, Trans. Amer. Math. Soc. 229, 269–278 (1977).

20. Nicholson W.K., Zhou Y. Rings in which elements are uniquely the sum of an idempotent and a unit, Glasgow Math. J. 46 (2), 227–236 (2004).

21. Lee G.T. Group Identities on Units and Symmetric Units of Group Rings, Ser. Algebras Appl. 12 (Springer, London, 2010).

22. Sahinkaya S., Tang G., Zhou Y., Nil-clean group rings, J. Algebra Appl. 16 (7), 1750135 (2017).

23. Polcino Milies C., Sehgal S., An Introduction to Group Rings (Ser. Algebras Appl. Kluwer Academic Publishers, 2002).

24. Rhemtulla A.H. Right-ordered groups, Canad. J. Math. 24 (5), 891–895 (1972).

25. Klingler L., Loper K.A., McGovern W.Wm., Toeniskoetter M. Semi-clean group rings, J. Pure Appl. Algebra 225(11), (2021).

26. Karimi-Mansoub A., Kosan T., Zhou Y. Rings in which every unit is a sum of a nilpotent and an idempotent, Contemp. Math. 715, 189–203 (2018).

27. Kanwar P., Leroy A., Matczuk J. Clean elements in polynomial rings, Contemp. Math. 634, 197–204 (2015).

28. Connel I.G. On the group ring, Can. J. Math. 15, 650–685 (1963).

29. Rowen L.H. Polynomial Identities in Ring Theory (Acad. Press, New York, 1980).

30. Breaz S., Cˇalugˇareanu G., Danchev P., Micu T. Nil-clean matrix rings, Linear Algebra Appl. 439 (10), 3115–3119 (2013).

31. Fuchs L. Infinite Abelian Groups. 2 (Acad. Press, New York, 1973).