izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2026-5-51-68izvuzmath-303Research ArticleСтатьиО полу-нильчистых кольцах и их приложенияхOn semi-nil clean rings with applicationsБьенМ. Х.BienM. H.

Май Хоанг Бьен

г. Хошимин

Mai Hoang Bien

Ho Chi Minh City, 

Ho Chi Minh City

mhbien@hcmus.edu.vnДанчевП. В.DanchevP. V.

Петер Васильевич Данчев

г. София, 1113

Peter Vassilev Danchev

Sofia, 1113

danchev@math.bas.bgРамезан-НассабМ.Ramezan-NassabM.

Моджтаба Рамезан-Нассаб

ул. Талегани, д. 50, г. Тегеран,

а/я 19395-5746, г. Тегеран

Mojtaba Ramiezan-Nassab

50 Taleghani str., Tehran,

P.O. Box 19395-5746, Tehran

ramezann@khu.ac.irУниверситет естественных наук, г. Хошимин, Вьетнам; Вьетнамский национальный университетВьетнамUniversity of Science; Vietnam National UniversityViet NamИнститут математики и информатики Болгарской академии наукБолгарияInstitute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of SciencesBulgariaУниверситет Харазми; Институт фундаментальных исследованийИранKharazmi University; Institute for Research in Fundamental SciencesIslamic Republic of Iran202607062026055168Copyright © Бьен М.Х., Данчев П.В., Рамезан-Нассаб М., 20262026Бьен М.Х., Данчев П.В., Рамезан-Нассаб М.Bien M.H., Danchev P.V., Ramezan-Nassab M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/303

Исследуется понятие полу-нилнчистых колец, определяемых как кольца, в ко­торых каждый элемент может быть выражен как сумма периодического и нильпотентного элементов. Среди полученных результатов устанавливается, что если R — полу-нильчистое NI-кольцо, то R периодическое. Кроме того, показывается, что групповое кольцо RG ниль­потентной группы G над слабо 2-примальным кольцом R является полу-нильчистым тогда и только тогда, когда R периодическое, а группа G локально конечная.

Более того, изучаются кольца (называемые единично полу-нильчистыми), в которых каж­дый единичный элемент является суммой периодического и нильпотентного элементов. Важ­ным результатом является то, что если R — алгебраическая алгебра над полем, то R является единично полу-нильчистым тогда и только тогда, когда R периодическое.

Кроме того, исследуются кольца (называемые t-точными), в которых ненулевые элементы являются суммой элемента кручения и нильпотентного элемента, они составляют собствен­ный подкласс класса всех точных колец. Одним из основных результатов в этом аспекте явля­ется то, что матричные кольца над t-точными кольцами снова являются t-точными кольцами, что усиливает результат, полученный Г. Кэлугэряну и Т.Н. Ламом в 2016 г.

The notion of semi-nil clean rings is investigated; these are rings in which each element can be expressed as a sum of a periodic and a nilpotent element. Among the obtained results, it is shown that if R is a semi-nil clean NI ring, then R is periodic. In addition, every group ring RG of a nilpotent group G over a weakly 2-primal ring R is proved to be semi-nil clean if and only if R is periodic and G is locally finite.

Rings in which every unit is a sum of a periodic and a nilpotent element are also studied; such rings are called unit semi-nil clean rings. One of the important results obtained is that if R is an algebraic algebra over a field, then R is unit semi-nil clean if and only if R is periodic.

Furthermore, rings in which every non-zero element is a sum of a torsion element and a nilpotent element are investigated. These rings, called t-fine rings, form a proper subclass of the class of all fine rings. One of the main results shows that matrix rings over t-fine rings are themselves t-fine, thereby strengthening the result of Calugareanu-Lam (2016).

чистое кольцо(слабо) периодическое кольцополу-нильчистое кольцогрупповое кольцогруппа единицclean ring(weakly) periodic ringsemi-nil clean ringgroup ringunit groupReferencesChen H., Sheibani M. Theory of Clean Rings and Matrices (Word Sci. Publ. Co., 2022).Chen H., Sheibani M. Theory of Clean Rings and Matrices (Word Sci. Publ. Co., 2022).Ster J. ˇ On expressing matrices over Z2 as the sum of an idempotent and a nilpotent, Linear Algebra Appl. 544 (10), 339–349 (2018).Ster J. ˇ On expressing matrices over Z2 as the sum of an idempotent and a nilpotent, Linear Algebra Appl. 544 (10), 339–349 (2018).Bisht N. Semi-nil clean rings, Palest. J. Math. 12 (3), 1–6 (2023).Bisht N. Semi-nil clean rings, Palest. J. Math. 12 (3), 1–6 (2023).Ye Y. Semiclean rings, Commun. Algebra 31 (11), 5609–5625 (2003).Ye Y. Semiclean rings, Commun. Algebra 31 (11), 5609–5625 (2003).Bien M.H., Danchev P.V., Ramezan-Nassab M. Rings additively generated by periodic elements, J. Algebra Appl. 25 (2), 2550322 (2026). DOI: 10.1142/S0219498825503220.Bien M.H., Danchev P.V., Ramezan-Nassab M. Rings additively generated by periodic elements, J. Algebra Appl. 25 (2), 2550322 (2026). DOI: 10.1142/S0219498825503220.Cˇalugˇareanu G., Lam T.Y. Fine rings: a new class of simple rings, J. Algebra Appl. 15 (9), 1650173 (2016).Cˇalugˇareanu G., Lam T.Y. Fine rings: a new class of simple rings, J. Algebra Appl. 15 (9), 1650173 (2016).Atiyah M.F., MacDonald I.G. Introduction to Commutative Algebra (Addison-Wesley, 1969).Atiyah M.F., MacDonald I.G. Introduction to Commutative Algebra (Addison-Wesley, 1969).Danchev P.V., Lam T.-Y. Rings with unipotent units, Publ. Math. Debrecen 88 (3–4), 449–466 (2016).Danchev P.V., Lam T.-Y. Rings with unipotent units, Publ. Math. Debrecen 88 (3–4), 449–466 (2016).Bouzidi A.D., Cherchem A., Leroy A. Exponents of skew polynomials over periodic rings, Commun. Algebra 49 (4), 1639–1655 (2021).Bouzidi A.D., Cherchem A., Leroy A. Exponents of skew polynomials over periodic rings, Commun. Algebra 49 (4), 1639–1655 (2021).Herstein I.N. A note on rings with central nilpotent elements, Proc. Am. Math. Soc. 5, 620 (1954).Herstein I.N. A note on rings with central nilpotent elements, Proc. Am. Math. Soc. 5, 620 (1954).Bell H.E., Klein A.A. On finiteness, commutativity and periodicity in rings, Math. J. Okayama Univ. 35, 181–188 (1993).Bell H.E., Klein A.A. On finiteness, commutativity and periodicity in rings, Math. J. Okayama Univ. 35, 181–188 (1993).Ying Z., Ko¸san T., Zhou Y. Rings in which every element is a sum of two tripotents, Canad. Math. Bull. 59(3), 661–672 (2016).Ying Z., Ko¸san T., Zhou Y. Rings in which every element is a sum of two tripotents, Canad. Math. Bull. 59(3), 661–672 (2016).Cui J., Danchev P.V. Some new characterizations of periodic rings, J. Algebra Appl. 19 (12), 205235 (2020).Cui J., Danchev P.V. Some new characterizations of periodic rings, J. Algebra Appl. 19 (12), 205235 (2020).Bell H.E., Tominaga H. On periodic rings and related rings, Math. J. Okayama Univ. 28 (1), 101–103 (1986).Bell H.E., Tominaga H. On periodic rings and related rings, Math. J. Okayama Univ. 28 (1), 101–103 (1986).Khurana D. Lifting potent elements modulo nil ideals, J. Pure Appl. Algebra 225 (11), 106762 (2021).Khurana D. Lifting potent elements modulo nil ideals, J. Pure Appl. Algebra 225 (11), 106762 (2021).Klein A.A., Bell H.E. Rings with finitely many nilpotent elements, Commun. Algebra 22 (1), 349–354 (1994).Klein A.A., Bell H.E. Rings with finitely many nilpotent elements, Commun. Algebra 22 (1), 349–354 (1994).Abyzov A.N., Barati R., Danchev P.V. Rings close to periodic with applications to matrix, endomorphism and group rings, Commun. Algebra 52 (5), 1832–1852 (2024).Abyzov A.N., Barati R., Danchev P.V. Rings close to periodic with applications to matrix, endomorphism and group rings, Commun. Algebra 52 (5), 1832–1852 (2024).Hirano Y. On periodic P.I. rings and locally finite rings, Math. J. Okayama Univ. 33, 115–120 (1991).Hirano Y. On periodic P.I. rings and locally finite rings, Math. J. Okayama Univ. 33, 115–120 (1991).Nicholson W.K. Lifting idempotents and exchange rings, Trans. Amer. Math. Soc. 229, 269–278 (1977).Nicholson W.K. Lifting idempotents and exchange rings, Trans. Amer. Math. Soc. 229, 269–278 (1977).Nicholson W.K., Zhou Y. Rings in which elements are uniquely the sum of an idempotent and a unit, Glasgow Math. J. 46 (2), 227–236 (2004).Nicholson W.K., Zhou Y. Rings in which elements are uniquely the sum of an idempotent and a unit, Glasgow Math. J. 46 (2), 227–236 (2004).Lee G.T. Group Identities on Units and Symmetric Units of Group Rings, Ser. Algebras Appl. 12 (Springer, London, 2010).Lee G.T. Group Identities on Units and Symmetric Units of Group Rings, Ser. Algebras Appl. 12 (Springer, London, 2010).Sahinkaya S., Tang G., Zhou Y., Nil-clean group rings, J. Algebra Appl. 16 (7), 1750135 (2017).Sahinkaya S., Tang G., Zhou Y., Nil-clean group rings, J. Algebra Appl. 16 (7), 1750135 (2017).Polcino Milies C., Sehgal S., An Introduction to Group Rings (Ser. Algebras Appl. Kluwer Academic Publishers, 2002).Polcino Milies C., Sehgal S., An Introduction to Group Rings (Ser. Algebras Appl. Kluwer Academic Publishers, 2002).Rhemtulla A.H. Right-ordered groups, Canad. J. Math. 24 (5), 891–895 (1972).Rhemtulla A.H. Right-ordered groups, Canad. J. Math. 24 (5), 891–895 (1972).Klingler L., Loper K.A., McGovern W.Wm., Toeniskoetter M. Semi-clean group rings, J. Pure Appl. Algebra 225(11), (2021).Klingler L., Loper K.A., McGovern W.Wm., Toeniskoetter M. Semi-clean group rings, J. Pure Appl. Algebra 225(11), (2021).Karimi-Mansoub A., Kosan T., Zhou Y. Rings in which every unit is a sum of a nilpotent and an idempotent, Contemp. Math. 715, 189–203 (2018).Karimi-Mansoub A., Kosan T., Zhou Y. Rings in which every unit is a sum of a nilpotent and an idempotent, Contemp. Math. 715, 189–203 (2018).Kanwar P., Leroy A., Matczuk J. Clean elements in polynomial rings, Contemp. Math. 634, 197–204 (2015).Kanwar P., Leroy A., Matczuk J. Clean elements in polynomial rings, Contemp. Math. 634, 197–204 (2015).Connel I.G. On the group ring, Can. J. Math. 15, 650–685 (1963).Connel I.G. On the group ring, Can. J. Math. 15, 650–685 (1963).Rowen L.H. Polynomial Identities in Ring Theory (Acad. Press, New York, 1980).Rowen L.H. Polynomial Identities in Ring Theory (Acad. Press, New York, 1980).Breaz S., Cˇalugˇareanu G., Danchev P., Micu T. Nil-clean matrix rings, Linear Algebra Appl. 439 (10), 3115–3119 (2013).Breaz S., Cˇalugˇareanu G., Danchev P., Micu T. Nil-clean matrix rings, Linear Algebra Appl. 439 (10), 3115–3119 (2013).Fuchs L. Infinite Abelian Groups. 2 (Acad. Press, New York, 1973).Fuchs L. Infinite Abelian Groups. 2 (Acad. Press, New York, 1973).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.