Краевая задача с несимметричными граничными условиями для уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами

В данной статье исследуется краевая задача с несимметричными условиями для неоднородного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками с младшими чле­нами. Единственность решения задачи доказывается методом интегралов энергии. Показано, что при нарушении условии теоремы единственности однородная задача имеет нетривиаль­ное решение. Существование доказывается методом Фурье. Решение поставленной задачи получено в явном виде с помощью построенной функции Грина. Доказана равномерная схо­димость ряда и их производных, входящих в уравнение.

1. Benney D.J., Luke J.C. On the interactions of permanent waves of finite amplitude, J. Math. Phys. 43, 309–313 (1964).

2. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек (Наука, М., 2006).

3. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии (Высш. шк., М., 1995).

4. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах, Дифференц. уравнения 18 (4), 689–699 (1982).

5. Рыжов О.С. Асимптотическая картина обтекания тел вращения со звуковым потоком вязкого и теплопроводящего газа, ПММ 29 (6), 1004–1014 (1965).

6. Диесперов В.Н. О функции Грина линеаризованного вязкого трансзвукового уравнения, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 12 (5), 1256–1279 (1972).

7. Block H. Sur les equations lineaires aux derives parielles a carateristiques multiples, Ark. Mat. Astron. Fus. 7 (13), 1–34 (1912).

8. Block H. Sur les equations lineaires aux derives parielles a carateristiques multiples, Ark. Mat. Astron. Fus. 7 (21), 1–30 (1912).

9. Block H. Sur les equations lineaires aux derives parielles a carateristiques multiples, Ark. Mat. Astron. Fus. 8 (23), 1–51 (1913).

10. Del Vecchio E. Sulleequazioni zxxx - zy + varphi 1 (x, y) = 0, zxxx - zyy + varphi 2 (x, y) = 0, Mem. Real. Acad. Sci. Torino 66, 1–41 (1915).

11. Cattabriga L. Potenziali di linea e di dominio per equazioni non paraboliche in due variabilia caratteristiche multiple, Rend. Sem. Mat. della Univ. di Padava. 31, 1–45 (1961).

12. Джураев Т.Д, Апаков Ю.П. Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, Вестн. Сам. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки 2 (15), 18–26 (2007).

13. Джураев Т.Д, Апаков Ю.П. К теории уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего вторую производную по времени, Укр. матем. журн. 62 (1), 40–51 (2010).

14. Apakov Yu.P., Rutkauskas S. On a boundary value problem to third order PDE with multiple characteristics, Nonlinear Anal. Model. Control 16 (3), 255–269 (2011).

15. Апаков Ю.П. О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, Укр. матем. журн. 64 (1), 1–11 (2012).

16. Апаков Ю.П., Жураев А.Х. О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с помощью функции Грина, Узб. матем. журн. 3, 36–42 (2011).

17. Yuldashev T.K., Apakov Y.P., Zhuraev A.Kh. Boundary value problem for third order partial integrodifferential equation with a degenerate kernel, Lobachevski J. Math. 42, 1317–1327 (2021).

18. Иргашев Б.Ю. Краевая задача для одного вырождающего уравнения высокого порядка c младшими членами, Бюлл. ин-та матем. (6), 23–30 (2019).

19. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнение смешанного типа третьего порядка, Докл. РАН 427 (5), 593–596 (2009).

20. Сабитов К.Б. Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка в прямоугольной области, Дифференц. уравнения 49 (2), 186–196 (2013).

21. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа третьего порядка в прямоугольной области, Дифференц. уравнения 47 (5), 705–713 (2011).

22. Балкизов Ж.А., Кадзаков А.Х. О представлении решения краевой задачи для неоднородного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, Изв. Кабардино-Балкарск. научн. центра РАН 4 (36), 64–69 (2010).

23. Ashyralyev A., Ashyralyyev A., Abdalmohammed B. On the hyperbolic type differential equation with time involution, Bull. Karaganda Univ. Math. Ser. 1 (109), 38–47 (2023).

24. Кожанов А.И., Дюжева А.В. Нелокальные задачи с интегральным условием для дифференциальных уравнений третьего порядка, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.- мат. науки 24 (4), 607–620 (2020).

25. Umarov R.A., Apakov Yu.P. On the third boundary problem for a nonhomogeneous third order equation with multiple characteristics, Uzbek Math. J. 67 (1), 4–14 (2023).

26. Apakov Yu.P., Umarov R.A. Construction of the solution of a boundary-value problem for the third-order equation with lower terms with the help of the green function, J. Math. Sci. 274 (6), 807–821 (2023), DOI: 10.1007/s10958-023-06644-2.

27. Apakov Yu.P., Umarov R.A. Solution of a boundary value problem for a third-order inhomogeneous equation with multiple characteristics with the construction of the Green’s function, Bull. Karaganda Univ. Math. Ser. (2 (114)), 22–39 (2024), DOI: 10.31489/2024M2/22-39.

28. Umarov R.A. On the completeness of eigenfunctions of a boundary value problem with non-symmetrical conditions for a third-order equation, Actual problems of applied mathematics and information technologies (Tashkent, 2024).

29. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегралное уравнения: задача и примеры с подробным решениями (Едиториал, М., 2003).