izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2026-5-19-30izvuzmath-301Research ArticleСтатьиКраевая задача с несимметричными граничными условиями для уравнения третьего порядка с переменными коэффициентамиBoundary value problem with asymmetric boundary conditions for a third-order equation with variable coefficientsАпаковЮ. П.ApakovYu. P.

Юсупжон Пулатович Апаков

ул. Университетская, д. 46, г. Ташкент, 100174, 

ул. И. Каримов, д. 12, г. Наманган, 160103

Yusupjon Pulatovich Apakov

46 University str., Tashkent, 100174,

12 I. Karimov str., Namangan, 160103

yusupjonapakov@gmail.comУмаровР. А.UmarovR. A.

Рахматилла Акрамович Умаров

ул. Олийгох, д. 1, пос. Куйганер, Андижанская обл., 170600

Raxmatilla Akramovich Umarov

1 Oliygokh str., Kuyganer vill., Andijan region, 170600

r.umarovl975@mail.ruИнститут математики им. В.И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан; Наманганский государственный технический университетУзбекистанV.I. Romanovskiy Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of Uzbekistan; Namangan State Technical UniversityUzbekistanАндижанский институт сельского хозяйства и агротехнологийУзбекистанAndijan Institute of Agriculture and AgrotechnologiesUzbekistan202607062026051930Copyright © Апаков Ю.П., Умаров Р.А., 20262026Апаков Ю.П., Умаров Р.А.Apakov Y.P., Umarov R.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/301

В данной статье исследуется краевая задача с несимметричными условиями для неоднородного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками с младшими чле­нами. Единственность решения задачи доказывается методом интегралов энергии. Показано, что при нарушении условии теоремы единственности однородная задача имеет нетривиаль­ное решение. Существование доказывается методом Фурье. Решение поставленной задачи получено в явном виде с помощью построенной функции Грина. Доказана равномерная схо­димость ряда и их производных, входящих в уравнение.

In this paper, a boundary value problem with asymmetric conditions for a third-order inhomogeneous equation with multiple characteristics containing lower-order terms is studied. The uniqueness of the solution to the problem is proved by the energy integral method. It is shown that if the uniqueness theorem condition is violated, the homogeneous problem has a nontrivial solution. The existence of this is proved by the Fourier method. The solution to the stated problem is obtained in an explicit form with the help of the constructed Green function. Uniform convergence of the series and their derivatives included in the equation is proved.

дифференциальное уравнениетретий порядоккратные характеристикинесимметричная краевая задачарегулярное решениеединственностьсуществованиефункция Гринаdifferential equationthird ordermultiple characteristicsasymmetric boundary value problemregular solutionuniquenessexistenceGreen’s functionReferencesBenney D.J., Luke J.C. On the interactions of permanent waves of finite amplitude, J. Math. Phys. 43, 309–313 (1964).Benney D.J., Luke J.C. On the interactions of permanent waves of finite amplitude, J. Math. Phys. 43, 309–313 (1964).Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек (Наука, М., 2006).Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек (Наука, М., 2006).Нахушев А.М. Уравнения математической биологии (Высш. шк., М., 1995).Нахушев А.М. Уравнения математической биологии (Высш. шк., М., 1995).Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах, Дифференц. уравнения 18 (4), 689–699 (1982).Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах, Дифференц. уравнения 18 (4), 689–699 (1982).Рыжов О.С. Асимптотическая картина обтекания тел вращения со звуковым потоком вязкого и теплопроводящего газа, ПММ 29 (6), 1004–1014 (1965).Рыжов О.С. Асимптотическая картина обтекания тел вращения со звуковым потоком вязкого и теплопроводящего газа, ПММ 29 (6), 1004–1014 (1965).Диесперов В.Н. О функции Грина линеаризованного вязкого трансзвукового уравнения, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 12 (5), 1256–1279 (1972).Диесперов В.Н. О функции Грина линеаризованного вязкого трансзвукового уравнения, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 12 (5), 1256–1279 (1972).Block H. Sur les equations lineaires aux derives parielles a carateristiques multiples, Ark. Mat. Astron. Fus. 7 (13), 1–34 (1912).Block H. Sur les equations lineaires aux derives parielles a carateristiques multiples, Ark. Mat. Astron. Fus. 7 (13), 1–34 (1912).Block H. Sur les equations lineaires aux derives parielles a carateristiques multiples, Ark. Mat. Astron. Fus. 7 (21), 1–30 (1912).Block H. Sur les equations lineaires aux derives parielles a carateristiques multiples, Ark. Mat. Astron. Fus. 7 (21), 1–30 (1912).Block H. Sur les equations lineaires aux derives parielles a carateristiques multiples, Ark. Mat. Astron. Fus. 8 (23), 1–51 (1913).Block H. Sur les equations lineaires aux derives parielles a carateristiques multiples, Ark. Mat. Astron. Fus. 8 (23), 1–51 (1913).Del Vecchio E. Sulleequazioni zxxx - zy + varphi 1 (x, y) = 0, zxxx - zyy + varphi 2 (x, y) = 0, Mem. Real. Acad. Sci. Torino 66, 1–41 (1915).Del Vecchio E. Sulleequazioni zxxx - zy + varphi 1 (x, y) = 0, zxxx - zyy + varphi 2 (x, y) = 0, Mem. Real. Acad. Sci. Torino 66, 1–41 (1915).Cattabriga L. Potenziali di linea e di dominio per equazioni non paraboliche in due variabilia caratteristiche multiple, Rend. Sem. Mat. della Univ. di Padava. 31, 1–45 (1961).Cattabriga L. Potenziali di linea e di dominio per equazioni non paraboliche in due variabilia caratteristiche multiple, Rend. Sem. Mat. della Univ. di Padava. 31, 1–45 (1961).Джураев Т.Д, Апаков Ю.П. Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, Вестн. Сам. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки 2 (15), 18–26 (2007).Джураев Т.Д, Апаков Ю.П. Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, Вестн. Сам. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки 2 (15), 18–26 (2007).Джураев Т.Д, Апаков Ю.П. К теории уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего вторую производную по времени, Укр. матем. журн. 62 (1), 40–51 (2010).Джураев Т.Д, Апаков Ю.П. К теории уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего вторую производную по времени, Укр. матем. журн. 62 (1), 40–51 (2010).Apakov Yu.P., Rutkauskas S. On a boundary value problem to third order PDE with multiple characteristics, Nonlinear Anal. Model. Control 16 (3), 255–269 (2011).Apakov Yu.P., Rutkauskas S. On a boundary value problem to third order PDE with multiple characteristics, Nonlinear Anal. Model. Control 16 (3), 255–269 (2011).Апаков Ю.П. О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, Укр. матем. журн. 64 (1), 1–11 (2012).Апаков Ю.П. О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, Укр. матем. журн. 64 (1), 1–11 (2012).Апаков Ю.П., Жураев А.Х. О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с помощью функции Грина, Узб. матем. журн. 3, 36–42 (2011).Апаков Ю.П., Жураев А.Х. О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с помощью функции Грина, Узб. матем. журн. 3, 36–42 (2011).Yuldashev T.K., Apakov Y.P., Zhuraev A.Kh. Boundary value problem for third order partial integrodifferential equation with a degenerate kernel, Lobachevski J. Math. 42, 1317–1327 (2021).Yuldashev T.K., Apakov Y.P., Zhuraev A.Kh. Boundary value problem for third order partial integrodifferential equation with a degenerate kernel, Lobachevski J. Math. 42, 1317–1327 (2021).Иргашев Б.Ю. Краевая задача для одного вырождающего уравнения высокого порядка c младшими членами, Бюлл. ин-та матем. (6), 23–30 (2019).Иргашев Б.Ю. Краевая задача для одного вырождающего уравнения высокого порядка c младшими членами, Бюлл. ин-та матем. (6), 23–30 (2019).Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнение смешанного типа третьего порядка, Докл. РАН 427 (5), 593–596 (2009).Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнение смешанного типа третьего порядка, Докл. РАН 427 (5), 593–596 (2009).Сабитов К.Б. Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка в прямоугольной области, Дифференц. уравнения 49 (2), 186–196 (2013).Сабитов К.Б. Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка в прямоугольной области, Дифференц. уравнения 49 (2), 186–196 (2013).Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа третьего порядка в прямоугольной области, Дифференц. уравнения 47 (5), 705–713 (2011).Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа третьего порядка в прямоугольной области, Дифференц. уравнения 47 (5), 705–713 (2011).Балкизов Ж.А., Кадзаков А.Х. О представлении решения краевой задачи для неоднородного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, Изв. Кабардино-Балкарск. научн. центра РАН 4 (36), 64–69 (2010).Балкизов Ж.А., Кадзаков А.Х. О представлении решения краевой задачи для неоднородного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, Изв. Кабардино-Балкарск. научн. центра РАН 4 (36), 64–69 (2010).Ashyralyev A., Ashyralyyev A., Abdalmohammed B. On the hyperbolic type differential equation with time involution, Bull. Karaganda Univ. Math. Ser. 1 (109), 38–47 (2023).Ashyralyev A., Ashyralyyev A., Abdalmohammed B. On the hyperbolic type differential equation with time involution, Bull. Karaganda Univ. Math. Ser. 1 (109), 38–47 (2023).Кожанов А.И., Дюжева А.В. Нелокальные задачи с интегральным условием для дифференциальных уравнений третьего порядка, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.- мат. науки 24 (4), 607–620 (2020).Кожанов А.И., Дюжева А.В. Нелокальные задачи с интегральным условием для дифференциальных уравнений третьего порядка, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.- мат. науки 24 (4), 607–620 (2020).Umarov R.A., Apakov Yu.P. On the third boundary problem for a nonhomogeneous third order equation with multiple characteristics, Uzbek Math. J. 67 (1), 4–14 (2023).Umarov R.A., Apakov Yu.P. On the third boundary problem for a nonhomogeneous third order equation with multiple characteristics, Uzbek Math. J. 67 (1), 4–14 (2023).Apakov Yu.P., Umarov R.A. Construction of the solution of a boundary-value problem for the third-order equation with lower terms with the help of the green function, J. Math. Sci. 274 (6), 807–821 (2023), DOI: 10.1007/s10958-023-06644-2.Apakov Yu.P., Umarov R.A. Construction of the solution of a boundary-value problem for the third-order equation with lower terms with the help of the green function, J. Math. Sci. 274 (6), 807–821 (2023), DOI: 10.1007/s10958-023-06644-2.Apakov Yu.P., Umarov R.A. Solution of a boundary value problem for a third-order inhomogeneous equation with multiple characteristics with the construction of the Green’s function, Bull. Karaganda Univ. Math. Ser. (2 (114)), 22–39 (2024), DOI: 10.31489/2024M2/22-39.Apakov Yu.P., Umarov R.A. Solution of a boundary value problem for a third-order inhomogeneous equation with multiple characteristics with the construction of the Green’s function, Bull. Karaganda Univ. Math. Ser. (2 (114)), 22–39 (2024), DOI: 10.31489/2024M2/22-39.Umarov R.A. On the completeness of eigenfunctions of a boundary value problem with non-symmetrical conditions for a third-order equation, Actual problems of applied mathematics and information technologies (Tashkent, 2024).Umarov R.A. On the completeness of eigenfunctions of a boundary value problem with non-symmetrical conditions for a third-order equation, Actual problems of applied mathematics and information technologies (Tashkent, 2024).Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегралное уравнения: задача и примеры с подробным решениями (Едиториал, М., 2003).Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегралное уравнения: задача и примеры с подробным решениями (Едиториал, М., 2003).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.