Мономиальные операторы Роты–Бакстера нулевого веса и операторы усреднения на алгебре многочленов

Операторы Роты–Бакстера на алгебре многочленов начали изучать С.Х. Женг, Л. Гуо и М. Розенкранц в 2015 году.  Инъективные операторы Роты–Бакстера нулевого веса на $F[x]$ были описаны в 2021 году.  Мы описываем следующие классы мономиальных операторов Роты–Бакстера нулевого веса  на алгебре многочленов $F[x, y]$ и ее идеале $F_0[x, y]$:  1) не повышающие степень с ядром, не содержащим мономов,  2) отображающие каждый моном в себя с некоторым коэффициентом.  Для таких классов операторов мы показываем, как можно задать  мономиальный оператор усреднения по данному оператору Роты–Бакстера и наоборот.

1. Guo L. An Introduction to Rota–Baxter Algebra, 4. Surveys of Modern Mathematics (Intern. Press, USA, 2012).

2. Baxter G. An analytic problem whose solution follows from a simple algebraic identity, Pacific J. Math. 10 (3), 731–742 (1960).

3. Tricomi F.G. On the finite Hilbert transform, Quart. J. Math. 2 (1), 199–211 (1951).

4. Cotlar M. A unified theory of Hilbert transforms and ergodic theorems, Rev. Mat. Cuyana 1, 105–167 (1955).

5. Rota G.-C. Baxter algebras and combinatorial identities. I, Bull. Amer. Math. Soc. 75, 325–329 (1969).

6. Белавин А.А., Дринфельд В.Г. О решениях классического уравнения Янга–Бакстера для простых алгебр Ли, Функц. анализ и его прил. 16 (3), 1–29 (1982).

7. Семенов-Тян-Шанский М.А. Что такое классическая r-матрица, Функц. анализ и его прил. 17 (4), 17–33 (1983).

8. Guo L., Lang H., Sheng Yu. Integration and geometrization of Rota–Baxter Lie algebras, Adv. Math. 387, 107834 (2021).

9. Goncharov M. Rota–Baxter operators on cocommutative Hopf algebras, J. Algebra 582 (3), 39–56 (2021).

10. Zheng H., Zhao C., Liu L. Rota–Baxter co-operators on commutative Hopf algebras, Commun. Algebra 52 (8), 3583–3595 (2024).

11. Reynolds O. On the Dynamic Theory of Incompressible Viscous Fluids and the Determination of the Criterion, Phil. Trans. Roy. Soc. A. 186, 123–164 (1895).

12. Kamp´e de F´eriet J. Transformations de Reynolds op´erant dans un ensemble de fonctions mesurables non ´egatives, C.-R. Acad. Sci. 239, 787–789 (1954).

13. Rota G. Reynolds Operators, Proc. Symp. Appl. Math. Amer. Math. Soc. XVI, 70–83 (1964).

14. Moy S-T.C. Characterizations of Conditional Expectation as a Transformation on Function Spaces, Pacific J. Math. 4 (1), 47–63 (1954).

15. Bong N.H. Some Apparent Connection Between Baxter and Averaging Operators, J. Math. Anal. Appl. 56 (2), 330–345 (1976).

16. Guo L., Pei J. Averaging algebras, Schro¨der numbers, rooted trees and operads, J. Algebraic Comb. 42, 73–109 (2015).

17. Guo L., Rosenkranz M., Zheng S.H. Rota–Baxter operators on the polynomial algebras, integration and averaging operators, Pacific J. Math. 275 (2), 481–507 (2015).

18. Yu H. Classification of monomial Rota–Baxter operators on k[x], J. Algebra Appl. 15, 1650087 (2016).

19. Gubarev V. Monomial Rota–Baxter operators on free commutative non-unital algebra, Sib. Electron. Mat. 17, 1052–1063 (2020).

20. Gubarev V., Perepechko A Injective Rota-Baxter operators of weight zero on F[x], Mediterr. J. Math. 18 (6), article 267 (2021).

21. Qiao L., Pei J. Representations of polynomial Rota–Baxter algebras, J. Pure Appl. Algebra 222 (7), 1738–1757 (2018).

22. Tang X. Modules of polynomial Rota-Baxter algebras and matrix equations, arXiv:2003.05630 (2020).

23. Tang X., Liu N. Modules of non-unital polynomial Rota-Baxter algebras, Algebras Represent. Theory 26 (2), 1295—1318 (2023).

24. Ogievetsky O., Popov T. R-matrices in rime, Adv. Theor. Math. Phys. 14, 439–506 (2010).

25. Viellard-Baron E. Ecalle’s averages, Rota–Baxter algebras and the construction of moulds´ , arXiv:1904.02417v1 (2019).

26. Khodzitskii A. Monomial Rota–Baxter Operators of Nonzero Weight on F[x,y] Coming from Averaging Operators, Mediterr. J. Math. 20, article 251 (2023).

27. van den Essen A., Sun X. Monomial preserving derivations and Mathieu–Zhao subspaces, J. Pure Appl. Algebra 222 (10), 3219–3223 (2018).

28. Kitazawa C., Kojima H., Nagamine T. Closed polynomials and their applications for computations of kernels of monomial derivations, J. Algebra 533, 266–282 (2019).

29. Nowicki A., Zielin´ski J. Rational constants of monomial derivations, J. Algebra 302 (1), 387–418 (2006).

30. Ollagnier J.M., Nowicki A. Monomial derivations, Commun. Algebra 39 (9), 3138–3150 (2011).

31. Cao W. An Algebraic Study of Averaging Operators, arXiv: 1401.7389 (2014).

32. Benito P., Gubarev V., Pozhidaev A. Rota–Baxter operators on quadratic algebras, Mediterr. J. Math. 15 (5), 1–23 (2018).

33. Burde D. Left-symmetric algebras, or pre-Lie algebras in geometry and physics, Cent. Eur. J. Math. 4, 323–357 (2006).