izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2026-3-78-92izvuzmath-278Research ArticleСтатьиУточненные нелинейные модели деформирования по цилиндрической форме пластин из волокнистых композитов. 2. Модель третьего порядка точностиRefined nonlinear deformation models of cylindrical shape for fibre-reinforced composite plates. 2. Third-order model of accuracyПаймушинВ. Н.PaimushinV. N.

Виталий Николаевич Паймушин

ул. К. Маркса, д. 10, г. Казань, 420111,

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008

Vitaliy Nikolaevich Paimushin

10 K. Marks str., Kazan, 420111,

18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008

vpajmushin@mail.ruМакаровМ. В.MakarovM. V.

Максим Викторович Макаров

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008,

ул. К. Маркса, д. 10, г. Казань, 420111

Maksim Viktorovich Makarov

18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008,

10 K. Marks str., Kazan, 420111

 

makarovmaksim@mail.ruЛевшонковаН. В.LevshonkovaN. V.

Наталья Витальевна Левшонкова

ул. К. Маркса, д. 10, г. Казань, 420111

Natalya Vitalievna Levshonkova

10 K. Marks str., Kazan, 420111

dsm@dsm.kstu-kai.ruШишовМ. А.ShishovM. A.

Максим Александрович Шишов

ул. К. Маркса, д. 10, г. Казань, 420111

Maksim Aleksandrovich Shishov

10 K. Marks str., Kazan, 420111

maxim.shishov@mail.ruКазанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева; Казанский федеральный университетРоссияTupolev Kazan National Research Technical University; Kazan Federal UniversityRussian FederationКазанский федеральный университет; Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. ТуполеваРоссияKazan Federal University; Tupolev Kazan National Research Technical UniversityRussian FederationКазанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. ТуполеваРоссияTupolev Kazan National Research Technical UniversityRussian Federation202612042026037892Copyright © Паймушин В.Н., Макаров М.В., Левшонкова Н.В., Шишов М.А., 20262026Паймушин В.Н., Макаров М.В., Левшонкова Н.В., Шишов М.А.Paimushin V.N., Makarov M.V., Levshonkova N.V., Shishov M.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/278

На основе известных подходов и в развитие полученных ранее результатов пред­ложена уточненная математическая модель для описания процесса нелинейного деформи­рования по цилиндрической форме пластин из волокнистых композитов, основанная на ап­проксимации тангенциальных перемещений полиномом третьей степени по поперечной ко­ординате, в которой соответствующие коэффициенты разложения считаются независимы­ми, а прогибы — линейным законом. Кинематические соотношения для определения компо­нент деформаций построены на основе предложенных ранее непротиворечивых геометриче­ски нелинейных соотношений теории упругости с сохранением слагаемых, позволяющих вы­явить классические изгибные и неклассические (в частности, поперечно-сдвиговые в условиях поперечного изгиба) формы потери устойчивости (ФПУ) пластины. Физически нелинейное поведение материала учитывается в соотношениях для поперечных касательных напряжений. Рассмотрены вопросы корректности построенных уравнений при формулировке тех или иных условий закрепления и нагружения торцевых сечений пластины. Показано, что в решениях, определяемых на основе построенных уравнений, при удовлетворении граничным условиям защемления поперечного сечения в его окрестности осуществляется переход к решению по модели С.П. Тимошенко с постоянным по толщине поперечным касательным напряжением. Данный вывод сформулирован исходя из анализа точного аналитического решения линейной задачи о поперечном изгибе по цилиндрической форме консольно закрепленной пластины.

Based on the known approaches and in development of the previously obtained results, a refined mathematical model is proposed for describing the process of nonlinear deformation along the cylindrical shape of fibrous composite plates, based on the approximation of tangential displacements by a third-degree polynomial along the transverse coordinate, in which the correspon­ding expansion coefficients are considered independent, and the deflections are considered to be a linear law. Kinematic relations for determining the deformation components are constructed based on the previously proposed consistent geometrically nonlinear relations of the elasticity theory with conservation of terms, which make it possible to identify classical bending and non-classical (in particular, transverse-shear under transverse bending conditions) forms of loss of stability of the plate. Physically nonlinear behavior of the material is taken into account in the relations for transverse tangential stresses. The issues of correctness of the constructed equations in formulating certain conditions of fastening and loading of the end sections of the plate are considered. It is shown that in the solutions determined on the basis of the constructed equations, when satisfying the boundary conditions of clamping the cross-section in its vicinity, a transition to a solution according to the S.P. Timoshenko model with a constant transverse tangential stress across the thickness is realized. This conclusion is formulated based on the analysis of the exact analytical solution of the linear problem of transverse bending along the cylindrical shape of a cantilever-fixed plate.

пластинакомпозитмодель третьего порядкагеометрическая нелиней¬ностьконсольно закрепленная пластинаизгибточное аналитическое решениеplatecompositethird-order modelgeometric nonlinearitycantilever platebendingexact analytical solutionРабота выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки России (про¬ект FZSU-2024-0010, разделы 1-5) и за счет средств Российского научного фонда (проект №23-19- 00021-П, раздел 6)ReferencesАмбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек (Наука, М., 1974).Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек (Наука, М., 1974).Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость и колебания (Наука, М., 1987).Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость и колебания (Наука, М., 1987).Reddy J.N. A simple higher-order theory for laminated composite plates, J. Appl. Mech. 51 (4), 745–752 (1984).Reddy J.N. A simple higher-order theory for laminated composite plates, J. Appl. Mech. 51 (4), 745–752 (1984).Librescu L. Refined geometrically non-linear theories of anisotropic laminated shells, Quart. Appl. Math. 45 (1), 1–22 (1987).Librescu L. Refined geometrically non-linear theories of anisotropic laminated shells, Quart. Appl. Math. 45 (1), 1–22 (1987).Schmidt R., Reddy J.N. A refined small strain and moderate rotation theory of elastic anisotropic shells, J. Appl. Mech. 55 (3), 611–617 (1988).Schmidt R., Reddy J.N. A refined small strain and moderate rotation theory of elastic anisotropic shells, J. Appl. Mech. 55 (3), 611–617 (1988).Librescu L., Schmidt R. Refined theories of elastic anisotropic shells accounting for small strains and moderate rotations, Int. J. Nonlinear Mech. 23 (3), 217–229 (1988).Librescu L., Schmidt R. Refined theories of elastic anisotropic shells accounting for small strains and moderate rotations, Int. J. Nonlinear Mech. 23 (3), 217–229 (1988).Reddy J.N. A general non-linear third-order theory of plates with moderate thickness, Int. J. Nonlinear Mech. 25 (6), 677–686 (1990).Reddy J.N. A general non-linear third-order theory of plates with moderate thickness, Int. J. Nonlinear Mech. 25 (6), 677–686 (1990).Librescu L., Schmidt R. Substantiation of a shear-deformable theory of anisotropic composite laminated shells accounting for the interlaminate continuity conditions, Int. J. Eng. Sci. 29 (6), 669–683 (1991).Librescu L., Schmidt R. Substantiation of a shear-deformable theory of anisotropic composite laminated shells accounting for the interlaminate continuity conditions, Int. J. Eng. Sci. 29 (6), 669–683 (1991).Basar Y., DingY., Schultz R. Refined shear-deformation models for composite laminates with finite rotations, Int. J. Solids Struct. 30 (19), 2611–2638 (1993).Basar Y., DingY., Schultz R. Refined shear-deformation models for composite laminates with finite rotations, Int. J. Solids Struct. 30 (19), 2611–2638 (1993).Gruttmann F., Wagner W. A linear quadrilateral shell element with fast stiffness computation, Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 194 (39–41), 4279–4300 (2005).Gruttmann F., Wagner W. A linear quadrilateral shell element with fast stiffness computation, Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. 194 (39–41), 4279–4300 (2005).Gruttmann F., Wagner W. Structural analysis of composite laminates using a mixed hybrid shell element, Comput. Mech. 37 (6), 479–497 (2006).Gruttmann F., Wagner W. Structural analysis of composite laminates using a mixed hybrid shell element, Comput. Mech. 37 (6), 479–497 (2006).Schmidt R., Vu. T.D. Nonlinear dynamic FE simulation of smart piezolaminated structures based on firstand third-order transverse shear deformation theory, Adv. Materials Res. 79–82, 1313–1316 (2009).Schmidt R., Vu. T.D. Nonlinear dynamic FE simulation of smart piezolaminated structures based on firstand third-order transverse shear deformation theory, Adv. Materials Res. 79–82, 1313–1316 (2009).Yankovskii A.P. Critical Analysis of the Equations of Statics in the Bending Theories of Composite Plates Obtained on the Basis of Variational Principles of Elasticity Theory 1. General Theories of High Order, Mech. Comp. Materials 56 (3), 271–290 (2020), DOI: 10.1007/s11029-020-09880-8.Yankovskii A.P. Critical Analysis of the Equations of Statics in the Bending Theories of Composite Plates Obtained on the Basis of Variational Principles of Elasticity Theory 1. General Theories of High Order, Mech. Comp. Materials 56 (3), 271–290 (2020), DOI: 10.1007/s11029-020-09880-8.Yankovskii A.P. Critical Analysis of the Equations of Statics in the Bending Theories of Composite Plates Obtained on the Basis of Variational Principles of Elasticity Theory 2. Particular Low-Order Theories, Mech. Comp. Materials 56 (4), 437–454 (2020), DOI: 10.1007/s11029-020-09895-1.Yankovskii A.P. Critical Analysis of the Equations of Statics in the Bending Theories of Composite Plates Obtained on the Basis of Variational Principles of Elasticity Theory 2. Particular Low-Order Theories, Mech. Comp. Materials 56 (4), 437–454 (2020), DOI: 10.1007/s11029-020-09895-1.Reissner E. On the theory of bending of elastic plates, J. Math. Phys. 23 (1–4), 184–191 (1944).Reissner E. On the theory of bending of elastic plates, J. Math. Phys. 23 (1–4), 184–191 (1944).Mindlin R.D. Thickness-shear and flexural vibrations of crystal plates, J. Appl. Phys. 22 (3), 316–323 (1951).Mindlin R.D. Thickness-shear and flexural vibrations of crystal plates, J. Appl. Phys. 22 (3), 316–323 (1951).Reissner E. A consistent treatment of transverse shear deformations in laminated anisotropic plates, AIAA J. 10 (5), 716–718 (1972).Reissner E. A consistent treatment of transverse shear deformations in laminated anisotropic plates, AIAA J. 10 (5), 716–718 (1972).Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетерс Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов (Зинатне, Рига, 1980).Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетерс Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов (Зинатне, Рига, 1980).Reddy J.N. A refined nonlinear theory of plates with transverse shear deformation, Int. J. of Solids and Struct. 20 (9–10), 881–896 (1984).Reddy J.N. A refined nonlinear theory of plates with transverse shear deformation, Int. J. of Solids and Struct. 20 (9–10), 881–896 (1984).Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов (Наука, Новосибирск, 2013).Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов (Наука, Новосибирск, 2013).Андреев А.Н. Упругость и термоупругость слоистых композитных оболочек. Математическая модель и некоторые аспекты численного анализа (Palmarium Acad. Publ., Saarbrucken, 2013).Андреев А.Н. Упругость и термоупругость слоистых композитных оболочек. Математическая модель и некоторые аспекты численного анализа (Palmarium Acad. Publ., Saarbrucken, 2013).Thai C.H. Analysis of laminated composite plates using higher-order shear deformation plate theory and mode-based smoother discrete shear gap method, Appl. Math. Modeling 36 (11), 5657–5677 (2012).Thai C.H. Analysis of laminated composite plates using higher-order shear deformation plate theory and mode-based smoother discrete shear gap method, Appl. Math. Modeling 36 (11), 5657–5677 (2012).Mau S. A refined laminated plates theory, J. Appl. Mech. 40 (2), 606–607 (1973).Mau S. A refined laminated plates theory, J. Appl. Mech. 40 (2), 606–607 (1973).Lo K., Christensen R., Wu E. A high-order theory of plate deformation. Part 1: homogeneous plates, J. Appl. Mech. 44 (4), 663–668 (1977).Lo K., Christensen R., Wu E. A high-order theory of plate deformation. Part 1: homogeneous plates, J. Appl. Mech. 44 (4), 663–668 (1977).Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость и колебания (Наука, Новосибирск, 2001).Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость и колебания (Наука, Новосибирск, 2001).Михайловский Е.И. Математические модели механики упругих тел (Изд-во Сыктывкарск. ун-та, Сыктывкар, 2004).Михайловский Е.И. Математические модели механики упругих тел (Изд-во Сыктывкарск. ун-та, Сыктывкар, 2004).Paimushin V.N., Makarov M.V., Polyakova N.V., Shishov M.A., Kamalutdinov A.M., Panin S.V. Refined Nonlinear Deformation Models of Semi-Infinite Plates Made of Fiber Reinforced Plastics. 1. Reddy–Nemirovsky Type Model, Lobachevskii J. Math. 43 (8), 2257–2266 (2022), DOI: 10.1134/S1995080222110245.Paimushin V.N., Makarov M.V., Polyakova N.V., Shishov M.A., Kamalutdinov A.M., Panin S.V. Refined Nonlinear Deformation Models of Semi-Infinite Plates Made of Fiber Reinforced Plastics. 1. Reddy–Nemirovsky Type Model, Lobachevskii J. Math. 43 (8), 2257–2266 (2022), DOI: 10.1134/S1995080222110245.Paimushin V.N., Kholmogorov S.A., Makarov M.V., Tarlakovskii D.V., Lukaszewicz A. Mechanics of fiber composites: Forms of loss of stability and fracture of test specimens resulting from three-point bending tests, Z Angew Math Mech. 99 (1), e201800063 (2019).Paimushin V.N., Kholmogorov S.A., Makarov M.V., Tarlakovskii D.V., Lukaszewicz A. Mechanics of fiber composites: Forms of loss of stability and fracture of test specimens resulting from three-point bending tests, Z Angew Math Mech. 99 (1), e201800063 (2019).Paimushin V.N., Shalashilin V.I. The relations of deformation theory in the quadratic approximation and the problems of constructing improved versions of the geometrically non-linear theory of laminated structures, J. Appl. Math. Mech. 69 (5), 773–791 (2005).Paimushin V.N., Shalashilin V.I. The relations of deformation theory in the quadratic approximation and the problems of constructing improved versions of the geometrically non-linear theory of laminated structures, J. Appl. Math. Mech. 69 (5), 773–791 (2005).Paimushin V.N., Kholmogorov S.A. Physical-Mechanical Properties of a Fiber-Reinforced Composite Based on an ELUR-P Carbon Tape and XT-118 Binder, Mech. Comp. Materials 54 (1), 2–12 (2018), DOI: 10.1007/s11029-018-9712-1.Paimushin V.N., Kholmogorov S.A. Physical-Mechanical Properties of a Fiber-Reinforced Composite Based on an ELUR-P Carbon Tape and XT-118 Binder, Mech. Comp. Materials 54 (1), 2–12 (2018), DOI: 10.1007/s11029-018-9712-1.Paimushin V.N., Gazizullin R.K. Static and monoharmonic acoustic impact on a laminated plate, Mech. Comp. Materials 53 (6), 283–304 (2017).Paimushin V.N., Gazizullin R.K. Static and monoharmonic acoustic impact on a laminated plate, Mech. Comp. Materials 53 (6), 283–304 (2017).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.