Пусть $f$ — измеримая функция, заданная на $\mathbb{R}$, определим оператор $$\mathcal{G}(\phi_n\ast f)(x)=\sup_N\left|\sum_{k=0}^Nc_k(\phi_{n_{k+1}}\ast f(x)-\phi_{n_k}\ast f(x))\right|,$$ где $\phi_n(x)=\dfrac{1}{n}\chi_{[0,n]}(x)$, а $\ast$ обозначает свертку. Пусть $1<r<\infty$ и $r^\prime =\dfrac{r}{r-1}$. Тогда для всех $1<\rho <\infty$ и для всех $(f_j)\in L^p(w)\cap L^p(\mathbb{R})$ взвешенные неравенства $$\left\|\Bigg(\sum_j(\mathcal{G}(\phi_n\ast f_j)^{\rho}\Bigg)^{1/\rho}\right\|_{L^p(w)}\leq C_{p,\rho}(w)\left\|\Bigg(\sum_j|f_j|^{\rho}\Bigg)^{1/{\rho}}\right\|_{L^p(w)}$$ выполняются, если $w\in A_{p/r^\prime}$ и $r^\prime\leq p<\infty$ или если $w\in A_p^{r^\prime}$ и $1<p\leq r^\prime$. Аналогично, если $w(x)^{r^\prime}\in A_1$, то неравенство слабого типа \begin{align*} w\left(\left\{x:\Bigg(\sum_j(\mathcal{G}(\phi_n\ast f_j)(x))^{\rho}\Bigg)^{1/\rho}>\lambda\right\}\right)  \leq C_{\rho}(w)\frac{1}{\lambda}\int\Bigg(\sum_j|f_j(x)|^{\rho}\Bigg)^{1/\rho}w(x)\, dx \end{align*} выполняется для всех $(f_j)\in L^1(w)\cap L^1(\mathbb{R})$.\\ \indent В частности, взвешенное неравенство $$\left\|\mathcal{G}(\phi_n\ast f)\right\|_{L^p(w)}\leq C_{p,\rho}(w)\left\|f \right\|_{L^p(w)}$$ выполняется для всех $f\in L^p(w)\cap L^p(\mathbb{R}^n)$, если $w\in A_{p/r^\prime}$ и $r^\prime\leq p<\infty$ или если $w\in A_p^{r^\prime}$ и $1<p\leq r^\prime$. Аналогично, если $w(x)^{r^\prime}\in A_1$, то неравенство слабого типа \begin{align*} w\big(\{x:\mathcal{G}(\phi_n\ast f)(x)>\lambda\}\big)\leq C_{\rho}(w)\frac{1}{\lambda}\int |f(x)| w(x)\, dx \end{align*} выполняется для всех $f\in L^1(w)\cap L^1(\mathbb{R})$.