Построение оптимальной квадратурной формулы для приближенного вычисления интегралов Фурье с использованием метода φ-функции

Численное интегрирование определенных интегралов имеет важное значение в фундаментальных и прикладных науках. Погрешность приближенных вычислений интегралов зависит от исходных данных и конкретных требований, что приводит к наложению различных условий на полученные вычисления.

В данной работе рассматривается задача построения оптимальной квадратурной формулы для приближенного вычисления интегралов Фурье методом $\varphi$-функций. Погрешность квадратурной формулы оценивается сверху с помощью интеграла квадрата функции $\varphi$ из гильбертова пространства. Далее, выбирается такая функция $\varphi$, при которой интеграл квадрата функции на этом интервале принимает наименьшее значение. Коэффициенты оптимальной квадратурной формулы рассчитываются с использованием полученной $\varphi$-функции. Полученная оптимальная квадратурная формула точна для функций $e^{\sigma x}$ и $e^{-\sigma x}$, где $\sigma$ — ненулевой действительный параметр.

1. Sard A. Best approximate integration formulas, best approximate formulas, Amer. J. Math. 71, 80–91 (1949).

2. Sard A. Linear approximation (Amer. Math. Soc., 1963).

3. Никольский С.М. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами, УМН 5 (2 (36)), 165–177 (1950).

4. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул (Наука, М., 1974).

5. Baboc¸ A., Acu A.M. Note on Corrected Optimal Quadrature Formulas in the Sense Nikolski, Appl. Math. Inf. Sci. 9 (3), 1231–1238 (2015).

6. Никольский С.М. Квадратурные формулы, 4-е изд. (Наука, М., 1988).

7. Meyers L.F., Sard A. Best approximate integration formulas, J. Math. Phys. (29), 118–123 (1950).

8. Coman Gh. Quadrature formulas of Sard type, Stud. Univ., Babeş-Bolyai Math. Mech. 17 (2), 73–77 (1972).

9. Coman Gh. Monosplines and optimal quadrature formulae in Lp, Rend. Mat. 5 (6), 567–577 (1972).

10. Schoenberg I.J. On monosplines of least deviation and best quadrature formulae, J. Soc. Indust. Appl. Math. Ser. B Numer. Anal. 2, 144–170 (1965).

11. Schoenberg I.J. On monosplines of least square deviation and best quadrature formulae II, SIAM J. Numer. Anal. 3 (2), 321–328 (1966).

12. Schoenberg I.J., Silliman S.D. On semicardinal quadrature formulae, Math. Comp. 28, 483–497 (1974).

13. Köhler P. On the weights of Sard’s quadrature formulas, Calcolo 25 (3), 169–186 (1988).

14. Ghizzetti A., Ossicini A. Quadrature Formulae (Academie Verlag, 1970).

15. Lanzara F. On optimal quadrature formulae, J. Ineq. Appl. 5, 201–225 (2000).

16. Cătina¸s T., Coman Gh. Optimal quadrature formulas based on the varphi -function method, Stud. Univ. Babeş-Bolyai Math. 51 (1), 49–64 (2006).

17. Соболев С.Л. Коэффициенты оптимальных квадратурных формул, Докл. АН СССР 235 (1), 34–37 (1977).

18. Жамалов З.Ж., Шадиметов Х.М. Об оптимальных квадратурных формулах, Докл. АН Узбекистана 7, 3–5 (1980).

19. Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R. Optimal quadrature formulas in the sense of Sard in W (m,m—1) space, Calcolo 51 (2), 211–243 (2013).

20. Шадиметов Х.М. Оптимальные решетчатые квадратурные и кубатурные формулы в пространстве Соболева (Фан ва технология, Ташкент, 2019).

21. Шадиметов Х.М., Хаётов А.Р. Оптимальная аппроксимация функционалов погрешностей квадратурных и интерполяционных формул в пространствах дифференцируемых функций (Мухр пресс, Ташкент, 2022).

22. Filon L.N.G. On a quadrature formula for trigonometric integrals, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 49, 38–47 (1928).

23. Авдеенко В.А., Малюков А.А. Квадратурная формула для интеграла Фурье, основанная на использовании кубического сплайна, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 29 (5), 783–786 (1989).

24. Бахвалов Н.С., Васильева Л.Г. Вычисление интегралов от осциллирующих функций при помощи интерполяции по узлам квадратур Гаусса, Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 8 (1), 175–181 (1968).

25. Evans G.A., Chung K.C. Evaluating infinite range oscillatory integrals using generalised quadrature methods, Appl. Numer. Math. 57 (1), 73–79 (2007).

26. Iserles A., Norsett S.P. Efficient quadrature of highly oscillatory integrals using derivatives, Proc. Roy. Soc. A 461, 1383–1399 (2005).

27. Milovanović G.V. Numerical calculation of integrals involving oscillatory and singular kernels and some applications of quadratures, Comput. Math. Appl. 36 (8), 19–39 (1998).

28. Novak E., Ullrich M., Woźniakowski H. Complexity of oscillatory integration for univariate Sobolev spaces, J. Complexity 31, 15–41 (2015).

29. Xu Z., Milovanović G.V., Xiang S. Efficient computation of highly oscillatory integrals with Hankel kernel, Appl. Math. Comp. 261, 312–322 (2015).

30. Zhang S., Novak E. Optimal quadrature formulas for the Sobolev space H1, J. Sci. Comp. 78 (1), 274–289 (2019).

31. Deano A., Huybrechs D., Iserles A. Computing Highly Oscillatory Integrals (Other Titles in Applied Mathematics, 2018).

32. Milovanović G.V., Stanić M.P. Numerical integration of highly oscillating functions, Anal. Num. Theory, Approx. Theory, Spec. Funct., 613–649 (2014).

33. Olver S. Moment-free numerical integration of highly oscillatory functions, IMA J. Num. Anal. 26, 213–227 (2006).

34. Olver S. On the convergence rate of a modified Fourier series, Math. Comp. 78, 1629–1645 (2009).

35. Olver S. Numerical approximation of highly oscillatory integrals, PhD thesis (2008).

36. Boltaev N.D., Hayotov A.R., Shadimetov Kh.M. Construction of optimal quadrature formula for numerical calculation of Fourier coefficients in Sobolev space L(1), Amer. J. Numer. Anal. 4 (1), 1–7 (2016).

37. Boltaev N.D., Hayotov A.R., Khudayberdiev M. Optimal quadrature formula for approximate calculation of Fourier coefficients in W (1,0) space, Probl. Comput. Appl. Math. 1 (1), 71–77 (2015).

38. Boltaev N.D., Hayotov A.R., Milovanović G.V., Shadimetov Kh.M. Optimal quadrature formulas for Fourier coefficients in W (m,m—1) 2 space, J. Appl. Anal. Comput. 7 (4), 1233–1266 (2017).

39. Hayotov A.R., Jeon S., Lee C.-O. On an optimal quadrature formula for approximation of Fourier integrals in the space L(1), J. Comput. Appl. Math. 372, 112713 (2020).

40. Hayotov A.R., Jeon S., Shadimetov Kh.M. Application of optimal quadrature formulas for reconstruction of CT images, J. Comput. Appl. Math. 388, 113313 (2021).

41. Hayotov A.R., Jeon S., Lee Ch.-O., Shadimetov Kh. M. Optimal quadrature formulas for non-periodic functions in Sobolev space and its application to CT image reconstruction, Filomat 35 (12), 4177–4195 (2021), DOI: 10.2298/FIL2112177H.

42. Hayotov A.R., Babaev S.S. Optimal quadrature formulas for computing of Fourier integrals in W (m,m—1) space, AIP Conf. Proc. 2365 (1), 020021 (2021).

43. Hayotov A.R., Khayriev U.N. Optimal quadrature formulas in the space Wwidetilde (m,m—1) of periodic functions, Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki 40 (3), 211–226 (2022).

44. Hayotov A.R., Khayriev U.N. Construction of an optimal quadrature formula in the Hilbert space of periodic functions, Lobachevskii J. Math. 43 (11), 3151–3160 (2022).

45. Hayotov A.R., Khayriev U.N. An optimal quadrature formula for approximating Fourier integrals in a Hilbert space, AIP Conf. Proc. 3004, 060046 (2024).

46. Khayriev U.N., Usmonova M.U., Turdieva G. An optimal quadrature formula in the space Wwidetilde (2,1) of periodic complex-valued functions, AIP Conf. Proc. 3004, 060037 (2024), DOI:https://doi.org/10.1063/5.0199582.

47. Shadimetov K., Hayotov A., Bozarov B. Optimal quadrature formulas for oscillatory integrals in the Sobolev space, J. Inequal. Appl. 2022, article 103 (2022).

48. Shadimetov K.M., Hayotov A.R., Khayriev U.N. Optimal quadrature formulas for approximating strongly oscillating integrals in the Hilbert space Wwidetilde (m,m—1) of periodic functions, J. Comp. Appl. Math. 453 (3), 116133 (2025), DOI: 10.1016/j.cam.2024.116133.

49. Babaev S.S. Construction of an optimal quadrature formula for the approximation of fractional integrals, AIP Conf. Proc. 3004 (1), 060022 (2024).

50. Hayotov A.R., Babaev S.S. An optimal quadrature formula for numerical integration of the right Riemann– Liouville fractional integral, Lobachevskii J. Math. 44 (10), 4285–4298 (2023).

51. Hayotov A.R., Babaev S.S. Optimal quadrature formula for numerical integration of fractional integrals in a Hilbert space, J. Math. Sci. 277 (3), 403–419 (2023).

52. Shadimetov Kh.M., Hayotov A.R., Akhmedov D.M. Optimal quadrature formulas for Cauchy type singular integrals in Sobolev space, Appl. Math. Comput. 263, 302–314 (2015).