Обратные задачи для уравнения дробной диффузии с оператором Хильфера

В данной статье рассматриваются обратные задачи для уравнения дробной диффузии с оператором Хильфера по времени. Прямой задачей является начально-краевая задача для этого уравнения с начальными данными типа Коши и граничными условиями Дирихле. Первая обратная задача - задача определения коэффициента, зависящего от времени, сводится к эквивалентному интегральному уравнению типа Вольтерра. Для доказательства существования и единственности решения используется принцип сжимающих отображений. Вторая обратная задача - задача определения функции, зависящей от пространственной переменной в правой части исследования методом Фурье с использованием свойства функции Миттаг-Леффлера. Решение построено в виде ряда по собственным функциям.

1. Sun H.G., Zhang Y., Baleanu D., Chen, W., Chen Y.Q. A new collection of real world applications of fractional calculus in science and engineering, Phys. Rev. E. 64, 213-231 (2018).

2. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differetial equations, Mathematical Studies (Elsevier, Amsterdam, 2006).

3. Samko S.G.,Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives: Theory and applications (Gordon Breach Sci. Publ., Yveron, 1993).

4. Podlubny I. Fractional Differential Equations: Mathematics in Science and Engineering, 198 (Acad. Press, New York, NY, USA, 1998).

5. Yu. Luchko Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the generalized time-fractional diffusion equation, Comput. Math. Appl. 59 (5), 1766–1772 (2010).

6. Sakamoto K. and Yamamoto M. Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems, J. Math. Anal. Appl. 382, 426–447 (2011).

7. Gorenflo R., Luchko Y.F., and Zabrejko P.P. On solvability of linear fractional differential equations in Banach spaces, Fract. Calc. Appl. Anal. 2, 163–176 (1999).

8. Eidelman S.D. and Kochubei A.N. Cauchy problem for fractional diffusion equations, J. Diff. Equat. 199 (2), 211–255 (2004).

9. Zhang S. Existence of solution for a boundary value problem of fractional order, Acta Math. Sci. 26 (2), 220–228 (2006).

10. Турдиев Х.Х. Обратные коэффициентные задачи для временно-дробного волнового уравнения с обобщенной производной Римана–Лиувилля по времени, Изв. вузов. Матем. (10), 46–59 (2023).

11. Акрамова Д.И. Обратная коэффициентная задача для дробно-диффузионного уравнения с оператором Бесселя, Изв. вузов. Матем. (9), 45–57 (2023).

12. Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for a time-fractional wave equation with initial-boundary and integral type overdetermination conditions, Math. Meth. Appl. Sci. 47 (6), 5329–5340 (2024).

13. Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for fractional wave equation with the generalized Riemann–Liouville time derivative, Indian J. Pure Appl. Math. (2023), DOI: 10.1007/s13226-023-00517-9.

14. Дурдиев Д.К., Жумаев Ж.Ж. Обратная задача определения ядра интегро-дифференциального уравнения дробной диффузии в ограниченной области, Изв. вузов. Матем. (10), 22–35 (2023).

15. Alimov Sh., Ashurov R. Inverse problem of determining an order of the Caputo time-fractional derivative for a subdiffusion equation, J. Inverse Ill-posed Probl. 28 (5), 651–658 (2020).

16. Totieva Z.D. A global solvability of a two-dimensional kernel determination problem for a viscoelasticity equation, Math. Methods Appl. Sci. 45 (12), 7555–7575 (2022).

17. Durdiev D., Turdiev H., Boltaev A. The problem of determining the one-dimensional kernel for the system of viscoelasticity in the anisotropic medium, AIP Conf. Proc. 3004 (1) (2024), DOI: 10.1063/5.0199987.

18. Bozorov Z., Turdiev H. The problem of finding the kernels in the system for integro-differential acoustic equations, AIP Conf. Proc. 3004 (1) (2024), DOI: 10.1063/5.0199964.

19. Дурдиев Д.К. Глобальная разрешимость одной обратной задачи для интегро-дифференциального уравнения электродинамики, Дифференц. уравнения 44 (7), 867–873 (2008).

20. Тотиева Ж.Д. Двумерная коэффициентная задача для уравнения вязкоупругости в слабо горизонтально-неоднородной среде, ТМФ 213 (2), 193–213 (2022).

21. Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Обратная задача для гиперболической системы первого порядка с памятью, Дифференц. уравнения 56 (12), 1666–1675 (2020).

22. Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Задача определения ядер в системе интегродифференциальных уравнений Максвелла, Сиб. журн. индустр. матем. 24 (2), 38–61 (2021).

23. Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Задача определения ядер в системе интегродифференциальных уравнений акустики, Дальневост. матем. журн. 23 (2), 190–210 (2023).

24. Дурдиев Д.К., Нуриддинов Ж.З. Единственность задачи определения ядра в интегро-дифференциальном параболическом уравнении с переменными коэффициентами, Изв. вузов. Матем. (11), 3–14 (2023).

25. Дурдиев У.Д. Обратная задача об источнике для уравнения вынужденных колебаний балки, Изв. вузов. Матем. (8), 10–22 (2023).

26. Сафаров Ж.Ш. Оценки устойчивости решений некоторых обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки (3), 75–82 (2014).

27. Дурдиев Д.К., Сафаров Ж.Ш. Обратная задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости в ограниченной области, Матем. заметки 97 (6), 855–867 (2015).

28. Safarov J.Sh., Durdiev D.K. Inverse Problem for an Integro-Differential Wave Equation in a Cylindrical Domain, Lobachevskii J. Math. 43 (11), 3271–3281 (2022).

29. Henry D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations (Berlin, Germany, 1981).

30. Hilfer R., Luchko Y., Tomovski Z. Operational method for the solution of fractional differential equations with generalized Riemann-Liouville fractional derivatives, Fract. Calc. Appl. Anal. 12 (3), 299–318 (2009).

31. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд. (Наука, М., 1976).