izvuzmathИзвестия высших учебных заведений. МатематикаIzvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika0021-34462076-4626Казанский (Приволжский) федеральный университет10.26907/0021-3446-2026-1-3-17izvuzmath-250Research ArticleСтатьиОбратные задачи для уравнения дробной диффузии с оператором ХильфераInverse problems for the fractional diffusion equation with the Hilfer operatorДурдиевД. К.DurdievD. K.

Дурдиев Дурдимурод Каландарович.

ул. Университетская, д. 46, Ташкент, 100170; ул. М. Икбол, д. 11, Бухара, 200118

Durdimurod K. Durdiev.

9 University str., Tashkent, 100170; 11 M. Ikbol str., Bukhara, 200118

d.durdiev@mathinst.uzТурдиевХ. Х.TurdievH. H.

Турдиев Халим Хамроевич.

ул. Университетская, д. 46, Ташкент, 100170; ул. М. Икбол, д. 11, Бухара, 200118

Halim H. Turdiev.

9 University str., Tashkent, 100170; 11 M. Ikbol str., Bukhara, 200118

h.turdiev@mathinst.uzРашидовР. Р.RashidovR. R.

Рашидов Равшанбек Рустамович.

ул. М. Икбол, д. 11, Бухара, 200118

Ravshanbek R. Rashidov.

11 M. Ikbol str., Bukhara, 200118

rashidovravshanbek6@gmail.comИнститут математики им. В.И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан; Бухарский государственный университетУзбекистанV.I. Romanovskiy Institute of Mathematics at the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan; Bukhara State UniversityUzbekistanБухарский государственный университетУзбекистанBukhara State UniversityUzbekistan20261202202601317Copyright © Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х., Рашидов Р.Р., 20262026Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х., Рашидов Р.Р.Durdiev D.K., Turdiev H.H., Rashidov R.R.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvuzmath.elpub.ru/jour/article/view/250

В данной статье рассматриваются обратные задачи для уравнения дробной диффузии с оператором Хильфера по времени. Прямой задачей является начально-краевая задача для этого уравнения с начальными данными типа Коши и граничными условиями Дирихле. Первая обратная задача - задача определения коэффициента, зависящего от времени, сводится к эквивалентному интегральному уравнению типа Вольтерра. Для доказательства существования и единственности решения используется принцип сжимающих отображений. Вторая обратная задача - задача определения функции, зависящей от пространственной переменной в правой части исследования методом Фурье с использованием свойства функции Миттаг-Леффлера. Решение построено в виде ряда по собственным функциям.

The article discusses inverse problems for the fractional diffusion equation with the Hilfer operator in time. The direct problem is the initial-boundary value problem for this equation with Cauchy-type initial data and Dirichlet boundary conditions. The first inverse problem, which involves determining a time-dependent coefficient, is reduced to an equivalent Volterra-type integral equation. The existence and uniqueness of the solution are proven using the contraction mapping principle. The second inverse problem involves determining a function dependent on the spatial variable on the right-hand side of the equation. This problem is studied using the Fourier method and the properties of the Mittag-Leffler function. The solution is constructed in the form of a series based on eigenfunctions.

дробный интеграл Римана-Лиувиллядробная производная Римана-Лиувилляпрямая задачаобратная задачаинтегральное уравнениеряд Фурьесуществованиеединственностьтеорема Банаха о неподвижной точкеRiemann-Liouville fractional integralRiemann-Liouville fractional derivativedirect probleminverse problemintegral equationFourier seriesexistenceuniquenessBanach fixed-point theoremReferencesSun H.G., Zhang Y., Baleanu D., Chen, W., Chen Y.Q. A new collection of real world applications of fractional calculus in science and engineering, Phys. Rev. E. 64, 213-231 (2018).Sun H.G., Zhang Y., Baleanu D., Chen, W., Chen Y.Q. A new collection of real world applications of fractional calculus in science and engineering, Phys. Rev. E. 64, 213-231 (2018).Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differetial equations, Mathematical Studies (Elsevier, Amsterdam, 2006).Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differetial equations, Mathematical Studies (Elsevier, Amsterdam, 2006).Samko S.G.,Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives: Theory and applications (Gordon Breach Sci. Publ., Yveron, 1993).Samko S.G.,Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives: Theory and applications (Gordon Breach Sci. Publ., Yveron, 1993).Podlubny I. Fractional Differential Equations: Mathematics in Science and Engineering, 198 (Acad. Press, New York, NY, USA, 1998).Podlubny I. Fractional Differential Equations: Mathematics in Science and Engineering, 198 (Acad. Press, New York, NY, USA, 1998).Yu. Luchko Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the generalized time-fractional diffusion equation, Comput. Math. Appl. 59 (5), 1766–1772 (2010).Yu. Luchko Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the generalized time-fractional diffusion equation, Comput. Math. Appl. 59 (5), 1766–1772 (2010).Sakamoto K. and Yamamoto M. Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems, J. Math. Anal. Appl. 382, 426–447 (2011).Sakamoto K. and Yamamoto M. Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems, J. Math. Anal. Appl. 382, 426–447 (2011).Gorenflo R., Luchko Y.F., and Zabrejko P.P. On solvability of linear fractional differential equations in Banach spaces, Fract. Calc. Appl. Anal. 2, 163–176 (1999).Gorenflo R., Luchko Y.F., and Zabrejko P.P. On solvability of linear fractional differential equations in Banach spaces, Fract. Calc. Appl. Anal. 2, 163–176 (1999).Eidelman S.D. and Kochubei A.N. Cauchy problem for fractional diffusion equations, J. Diff. Equat. 199 (2), 211–255 (2004).Eidelman S.D. and Kochubei A.N. Cauchy problem for fractional diffusion equations, J. Diff. Equat. 199 (2), 211–255 (2004).Zhang S. Existence of solution for a boundary value problem of fractional order, Acta Math. Sci. 26 (2), 220–228 (2006).Zhang S. Existence of solution for a boundary value problem of fractional order, Acta Math. Sci. 26 (2), 220–228 (2006).Турдиев Х.Х. Обратные коэффициентные задачи для временно-дробного волнового уравнения с обобщенной производной Римана–Лиувилля по времени, Изв. вузов. Матем. (10), 46–59 (2023).Турдиев Х.Х. Обратные коэффициентные задачи для временно-дробного волнового уравнения с обобщенной производной Римана–Лиувилля по времени, Изв. вузов. Матем. (10), 46–59 (2023).Акрамова Д.И. Обратная коэффициентная задача для дробно-диффузионного уравнения с оператором Бесселя, Изв. вузов. Матем. (9), 45–57 (2023).Акрамова Д.И. Обратная коэффициентная задача для дробно-диффузионного уравнения с оператором Бесселя, Изв. вузов. Матем. (9), 45–57 (2023).Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for a time-fractional wave equation with initial-boundary and integral type overdetermination conditions, Math. Meth. Appl. Sci. 47 (6), 5329–5340 (2024).Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for a time-fractional wave equation with initial-boundary and integral type overdetermination conditions, Math. Meth. Appl. Sci. 47 (6), 5329–5340 (2024).Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for fractional wave equation with the generalized Riemann–Liouville time derivative, Indian J. Pure Appl. Math. (2023), DOI: 10.1007/s13226-023-00517-9.Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for fractional wave equation with the generalized Riemann–Liouville time derivative, Indian J. Pure Appl. Math. (2023), DOI: 10.1007/s13226-023-00517-9.Дурдиев Д.К., Жумаев Ж.Ж. Обратная задача определения ядра интегро-дифференциального уравнения дробной диффузии в ограниченной области, Изв. вузов. Матем. (10), 22–35 (2023).Дурдиев Д.К., Жумаев Ж.Ж. Обратная задача определения ядра интегро-дифференциального уравнения дробной диффузии в ограниченной области, Изв. вузов. Матем. (10), 22–35 (2023).Alimov Sh., Ashurov R. Inverse problem of determining an order of the Caputo time-fractional derivative for a subdiffusion equation, J. Inverse Ill-posed Probl. 28 (5), 651–658 (2020).Alimov Sh., Ashurov R. Inverse problem of determining an order of the Caputo time-fractional derivative for a subdiffusion equation, J. Inverse Ill-posed Probl. 28 (5), 651–658 (2020).Totieva Z.D. A global solvability of a two-dimensional kernel determination problem for a viscoelasticity equation, Math. Methods Appl. Sci. 45 (12), 7555–7575 (2022).Totieva Z.D. A global solvability of a two-dimensional kernel determination problem for a viscoelasticity equation, Math. Methods Appl. Sci. 45 (12), 7555–7575 (2022).Durdiev D., Turdiev H., Boltaev A. The problem of determining the one-dimensional kernel for the system of viscoelasticity in the anisotropic medium, AIP Conf. Proc. 3004 (1) (2024), DOI: 10.1063/5.0199987.Durdiev D., Turdiev H., Boltaev A. The problem of determining the one-dimensional kernel for the system of viscoelasticity in the anisotropic medium, AIP Conf. Proc. 3004 (1) (2024), DOI: 10.1063/5.0199987.Bozorov Z., Turdiev H. The problem of finding the kernels in the system for integro-differential acoustic equations, AIP Conf. Proc. 3004 (1) (2024), DOI: 10.1063/5.0199964.Bozorov Z., Turdiev H. The problem of finding the kernels in the system for integro-differential acoustic equations, AIP Conf. Proc. 3004 (1) (2024), DOI: 10.1063/5.0199964.Дурдиев Д.К. Глобальная разрешимость одной обратной задачи для интегро-дифференциального уравнения электродинамики, Дифференц. уравнения 44 (7), 867–873 (2008).Дурдиев Д.К. Глобальная разрешимость одной обратной задачи для интегро-дифференциального уравнения электродинамики, Дифференц. уравнения 44 (7), 867–873 (2008).Тотиева Ж.Д. Двумерная коэффициентная задача для уравнения вязкоупругости в слабо горизонтально-неоднородной среде, ТМФ 213 (2), 193–213 (2022).Тотиева Ж.Д. Двумерная коэффициентная задача для уравнения вязкоупругости в слабо горизонтально-неоднородной среде, ТМФ 213 (2), 193–213 (2022).Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Обратная задача для гиперболической системы первого порядка с памятью, Дифференц. уравнения 56 (12), 1666–1675 (2020).Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Обратная задача для гиперболической системы первого порядка с памятью, Дифференц. уравнения 56 (12), 1666–1675 (2020).Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Задача определения ядер в системе интегродифференциальных уравнений Максвелла, Сиб. журн. индустр. матем. 24 (2), 38–61 (2021).Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Задача определения ядер в системе интегродифференциальных уравнений Максвелла, Сиб. журн. индустр. матем. 24 (2), 38–61 (2021).Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Задача определения ядер в системе интегродифференциальных уравнений акустики, Дальневост. матем. журн. 23 (2), 190–210 (2023).Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Задача определения ядер в системе интегродифференциальных уравнений акустики, Дальневост. матем. журн. 23 (2), 190–210 (2023).Дурдиев Д.К., Нуриддинов Ж.З. Единственность задачи определения ядра в интегро-дифференциальном параболическом уравнении с переменными коэффициентами, Изв. вузов. Матем. (11), 3–14 (2023).Дурдиев Д.К., Нуриддинов Ж.З. Единственность задачи определения ядра в интегро-дифференциальном параболическом уравнении с переменными коэффициентами, Изв. вузов. Матем. (11), 3–14 (2023).Дурдиев У.Д. Обратная задача об источнике для уравнения вынужденных колебаний балки, Изв. вузов. Матем. (8), 10–22 (2023).Дурдиев У.Д. Обратная задача об источнике для уравнения вынужденных колебаний балки, Изв. вузов. Матем. (8), 10–22 (2023).Сафаров Ж.Ш. Оценки устойчивости решений некоторых обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки (3), 75–82 (2014).Сафаров Ж.Ш. Оценки устойчивости решений некоторых обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки (3), 75–82 (2014).Дурдиев Д.К., Сафаров Ж.Ш. Обратная задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости в ограниченной области, Матем. заметки 97 (6), 855–867 (2015).Дурдиев Д.К., Сафаров Ж.Ш. Обратная задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости в ограниченной области, Матем. заметки 97 (6), 855–867 (2015).Safarov J.Sh., Durdiev D.K. Inverse Problem for an Integro-Differential Wave Equation in a Cylindrical Domain, Lobachevskii J. Math. 43 (11), 3271–3281 (2022).Safarov J.Sh., Durdiev D.K. Inverse Problem for an Integro-Differential Wave Equation in a Cylindrical Domain, Lobachevskii J. Math. 43 (11), 3271–3281 (2022).Henry D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations (Berlin, Germany, 1981).Henry D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations (Berlin, Germany, 1981).Hilfer R., Luchko Y., Tomovski Z. Operational method for the solution of fractional differential equations with generalized Riemann-Liouville fractional derivatives, Fract. Calc. Appl. Anal. 12 (3), 299–318 (2009).Hilfer R., Luchko Y., Tomovski Z. Operational method for the solution of fractional differential equations with generalized Riemann-Liouville fractional derivatives, Fract. Calc. Appl. Anal. 12 (3), 299–318 (2009).Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд. (Наука, М., 1976).Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд. (Наука, М., 1976).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.