Direct and inverse coefficient problems for the fractional diffusion wave equation with the Riemann—Liouville time derivative

This article considers the inverse problem in the fractional wave equation with the Riemann-Louville derivative. In this case, the direct problem is an initial nonlocal boundary value problem for this equation with initial Cauchy type and nonlocal boundary conditions. As a redefinition condition, a nonlocal integral condition with respect to the direct solution of the problem is specified. Using the Fourier method, this problem is reduced to equivalent integral equations. Then, using the Mittag-Leffler function and the generalized singular Gronwall inequality, we obtain an a priori estimate of the solution in terms of the unknown coefficient, which we will need to investigate for the inverse problem. The inverse problem is reduced to the equivalent integral of a Volterra type equation. To solve this equation, the contraction mapping principle is used. Local existence and global uniqueness have been proven.

1. Учайкин В.В. Метод дробных производных (Изд-во «Артишок», Ульяновск, 2008).

2. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differetial equations (Elsevier, Amsterdam, 2006).

3. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives: Theory and applications, (Gordon Breach Sci., Yveron, 1993).

4. Podlubny I. Fractional Differential Equations. Mathematics in Science and Engineering 198 (Acad. Press, New York, 1999).

5. Berkowitz B., Scher H. and Silliman S.E. Anomalous transport in laboratory-scale, heterogeneous porous media, Water Resour. Res. 36 (5), 149–158 (2000).

6. Scalas E., Gorenflo O.R. and Mainardi F. Fractional calculus and continuous-time finance, Phys. A. 284 (1), 376–384 (2000).

7. Metzler R. and Klafter J. Subdiffusive transport close to thermal equilibrium: from the Langevin equation to fractional diffusion, Phys. Rev. E. 61, 6308–6311 (2000).

8. Sakamoto K. and Yamamoto M. Initial value/boundary value problems for fractional diffusion-wave equations and applications to some inverse problems, J. Math. Anal. Appl. 382 (1), 426–447 (2011).

9. Durdiev D.K., Shishkina E. and Sitnik S. The explicit formula for solution of anomalous diffusion equation in the multidimensional space, Lobachevskii J. Math. 42 (6), 1264–1273 (2021).

10. Турдиев Х.Х. Обратные коэффициентные задачи для временно-дробного волнового уравнения с обобщенной производной Римана–Лиувилля по времени, Изв. вузов. Матем. (10), 46–59 (2023).

11. Акрамова Д.И. Обратная коэффициентная задача для дробно-диффузионного уравнения с оператором Бесселя, Изв. вузов. Матем. (9), 45–57 (2023).

12. Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for a time-fractional wave equation with initialboundary and integral type overdetermination conditions, Math. Meth. Appl. Sci. 47 (6), 5329–5340 (2024).

13. Durdiev D.K., Turdiev H.H. Inverse coefficient problem for fractional wave equation with the generalized Riemann–Liouville time derivative, Indian J. Pure Appl. Math. 56 (3), 751–767 (2023), DOI: 10.1007/s13226-023-00517-9.

14. Дурдиев Д.К., Жумаев Ж.Ж. Обратная задача определения ядра интегро-дифференциального уравнения дробной диффузии в ограниченной области, Изв. вузов. Матем. (10), 22–35 (2023).

15. Alimov Sh., Ashurov R. Inverse problem of determining an order of the Caputo time-fractional derivative for a subdiffusion equation, J. Inv. and Ill-posed Probl. 28 (5), 651–658 (2020).

16. Totieva Z.D. A global solvability of a two-dimensional kernel determination problem for a viscoelasticity equation, Math. Methods Appl. Sci. 45 (12), 7555–7575 (2022).

17. Durdiev D., Turdiev H., Boltaev A. The problem of determining the one-dimensional kernel for the system of viscoelasticity in the anisotropic medium, AIP Conf. Proc. 3004 (1), article 040015 (2024), DOI: 10.1063/5.0199987.

18. Bozorov Z., Turdiev H. The problem of finding the kernels in the system for integro-differential acoustic equations, AIP Conf. Proc. 3004 (1), article 040010 (2024), DOI: 10.1063/5.0199964.

19. Дзарахохов А.В., Шишкина Э.Л. Задача для смешанного уравнения с дробной степенью оператора Бесселя, Вестн. КРАУНЦ. Физ.-матем. науки 42 (1), 37–57 (2023).

20. Тотиева Ж.Д. Двумерная коэффициентная обратная задача для уравнения вязкоупругоcти в cлабо горизонтально-неоднородной cреде, ТМФ 213 (2), 193–213 (2022).

21. Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Обратная задача для гиперболической системы первого порядка с памятью, Дифференц. уравнения 56 (12), 1666–1675 (2020).

22. Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Задача определения ядер в системе интегродифференциальных уравнений Максвелла, Сиб. журн. индустр. матем. 24 (2), 38–61 (2021).

23. Дурдиев Д.К., Турдиев Х.Х. Задача определения ядер в системе интегро-дифференциальных уравнений акустики, Дальневост. матем. журн. 23 (2), 190–210 (2023).

24. Дурдиев Д.К., Нуриддинов Ж.З. Единственность задачи определения ядра в интегро-дифференциальном параболическом уравнении с переменными коэффициентами, Изв. вузов. Матем. (11), 3–14 (2023).

25. Дурдиев У.Д. Обратная задача об источнике для уравнения вынужденных колебаний балки, Изв. вузов. Матем. (8), 10–22 (2023).

26. Сафаров Ж.Ш. Оценки устойчивости решений некоторых обратных задач для интегро-дифференциальных уравнений, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки 3, 75–82 (2014).

27. Дурдиев Д.К., Сафаров Ж.Ш. Обратная задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости в ограниченной области, Матем. заметки 97 (6), 855–867 (2015).

28. Safarov J.Sh., Durdiev D.K. Inverse problem for an integro-differential wave equation in a cylindrical domain, Lobachevskii J. Math. 43 (11), 3271–3281 (2023).

29. Durdiev D.K., Toshev D.A., Turdiev H.H. Determining a source function in the mixed parabolic-hyperbolic equation with characteristic type change Line, Lobachevskii J. Math. 45 (3), 1032–1043 (2024).

30. Дурдиев Д.К. Коэффициентная обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с нехарактеристической линией изменения типа, Изв. вузов. Матем. (3), 38–49 (2024).

31. Рузиев М.Х. Краевая задача для уравнения смешанного типа с сингулярными коэффициентами, Изв. вузов. Матем. (7), 18–29 (2022).

32. Henry D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations (Springer, Berlin, 1981).

33. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (Наука., М., 1976).