Множество Мандельброта для пары несобственных преобразований подобия плоскости

Аннотация

Исследуются аттракторы систем итерированных функций (СИФ), состоящих из двух несобственных преобразований подобия плоскости, т. е. преобразований подобия, меня­ющих ориентацию. Аттрактор для таких СИФ представляет собой либо связное, либо вполне несвязное множество. Найдены достаточные условия, при которых аттрактор такой СИФ яв­ляется связным множеством. Для произвольной СИФ получены достаточные условия, при которых ее аттрактор является канторовым множеством. Исследуется аттрактор A_a двух несобственных преобразований подобия fi(z) = az, f₂ (z) = a(z — 1) + 1, z G C, в зависимости от параметра a G C, 0 < |a| < 1. Показано, что A_a — одно из следующих множеств: отрезок, канторово множество в отрезке, параллелограмм, канторово множество в параллелограмме. Вычислена размерность Хаусдорфа аттрактора А_а. Пусть M — множество всех значений параметра a, при которыа аттрактор А_а является связным. По аналогии с М.Ф. Барнсли и А.Н. Харингтоном называем M множеством Мандельброта. Показано, что в отличие от слу­чая собственных преобразований подобия множество Мандельброта M для пары несобствен­ных преобразований подобия имеет простую структуру. Приведены примеры аттракторов из рассматриваемых классов СИФ.