Об одном семействе копул, частично совпадающих с границами Фреше-Хёффдинга

Изучаются статистики теста Граббса, т. е. абсолютные величины экстремальных стьюдентизированных отклонений n случайных наблюдений от среднего. Рассматривается случай, когда случайные наблюдения имеют произвольные непрерывные маргинальные распределения. Доказывается существование двух областей: в одной из них совместная функция распределения этих статистик есть линейная функция от их маргинальных функций распределения, в другой она обращается в нуль. Из совместного распределения статистик Граббса строится копула Граббса. Доказывается, что в случае n>3 копула Граббса совпадает с нижней границей Фреше-Хёффдинга в двух подмножествах единичного квадрата. В случае n=3 копула Граббса является нижней границей Фреше-Хёффдинга. Повернутая на 180∘ версия копулы Граббса также частично совпадает с нижней границей Фреше-Хёффдинга (в случае n>3) и является нижней границей Фреше-Хёффдинга (случай n=3). Доказывается, что повернутые на 90∘ и 270∘ версии копулы Граббса частично совпадают с верхней границей Фреше-Хёффдинга (в случае n>3) и становятся верхней границей Фреше-Хёффдинга (случай n=3).

1. Genest C., Favre A.-C. Everything you always wanted to know about copula modelling but were afraid to ask, J. Hydrologic Eng. 12 (4), 347–368 (2007).

2. Bj¨ornham O., Br¨annstr¨om N., Persson L. Absolutely continuous copulas with prescribed support constructed by differential equations, with an application in toxicology, Commun. Stat. – Theory and Methods 51 (19), 6601–6625 (2022).

3. Jaworski P. On copulas with a trapezoid support, Depend. Model. 11 (1), 1–23 (2023).

4. Nelsen R.B. An introduction to copulas. 2nd ed. Springer Series in Statistics. (Springer, New York, 2006).

5. Fontanari A., Cirillo P., Oosterlee C.W. Lorenz-generated bivariate Archimedean copulas, Depend. Model. 8 (1), 186–209 (2020).

6. Durante F., Jaworski P. Absolutely continuous copulas with given diagonal sections, Commun. Stat. – Theory and Methods 37 (18), 2924–2942 (2008).

7. Jwaid T., De Baets B., Kalick´a J., Mesiar R. Conic aggregation functions, Fuzzy Sets Syst. 167, 3–20 (2011).

8. Dibala M., Vavr´ikov´a L. A note on Archimax copulas and their representation by means of conic copulas, Fuzzy Sets Syst. 308, 123–132 (2017).

9. Saminger-Platz S., Arias-Garc´ia J.J., Mesiar R., Klement E.P. Characterizations of bivariate conic, extreme value, and Archimax copulas, Depend. Model. 5 (1), 45–58 (2017).

10. Ширяева Л. К. О хвостовой зависимости для копула-функции Граббса, Изв. вузов. Матем. (12), 66–83 (2015).

11. Ширяева Л. К. О трехпараметрической копула-функции Граббса, Изв. вузов. Матем. (3), 54–71 (2019).

12. Busemann H., Feller W. Zur differentiation der Lebesgueschen integrale, Fundam. Math. 22, 226–256 (1934).

13. Durante F., Fern´andez-S´anchez J., Sempi C. A note on the notion of singular copula, Fuzzy Sets Syst. 211, 120–122 (2013).

14. Durante F., Foscolo E., Rodr´iguez-Lallena J., Ubeda-Flores M. ´ A method for constructing higher-dimensional copulas, Statistics 46 (3), 387–404 (2012).

15. Grubbs F. E. Procedures for detecting outlying observations in samples, Technometrics 11 (1), 1–21 (1969).

16. Zhang J., Yu K. The null distribution of the likelihood-ratio test for one or two outliers in a normal sample, TEST: An Official J. Spanish Soc. Stat. Oper. Res. 15 (1), 141–150 (2006).

17. Durante F., Sempi C. Copula theory: an introduction, Copula theory and its appl. 198, Lecture Notes in Statistics, 3–31 (Springer, Berlin, Heidelberg, 2010), URL : https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-12465-5.

18. Brechmann V., Schepsmeier U. Modeling dependence with C- and D-Vine Copulas: The R package CDVine, J. Stat. Software 52 (3), 1–27 (2013).

19. Ширяева Л. К. О распределении статистик Граббса в случае нормальной выборки с выбросом, Изв. вузов. Матем. (4), 81–101 (2017).

20. de Amo E., Fern´andez-S´anchez J., Ubeda-Flores M. ´ Zero-sets of copulas, Fuzzy Sets Syst. 393, 143–159 (2020).