Кривые, у которых дуги с фиксированным началом подобны

Автором ранее была выдвинута гипотеза, что в n-мерном евклидовом пространстве Eⁿ кривые, всякие две ориентированные дуги которых подобны, прямолинейны. Им же данное утверждение было доказано для размерностей n = 2 и n = 3. В пространстве же произвольной размерности гипотеза нашла свое подтверждение в классе спрямляемых кривых.

В работе приводится полное решение проблемы, причем в более сильном варианте:

a) кривая в Eⁿ, всякие две ориентированные дуги которой, имеющие общее начало (нефиксированное), подобны, прямолинейна;

b) если кривая в Eⁿ имеет в краевой точке полукасательную и всякие две ее ориентированные дуги с началом в этой точке подобны, то кривая прямолинейна;

c) если кривая в Eⁿ имеет во внутренней точке касательную и все ее ориентированные дуги с началом в этой точке подобны, то кривая прямолинейна. Приведены примеры кривых в E  и E³ , у которых все дуги с общим началом подобны, но они непрямолинейны, а также дано полное описание таковых кривых в E² . Методы исследования — топологические, теоретико-множественные, с привлечением аппарата функциональных уравнений.

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы (Ин-т комп. исследов., М., 2002).

2. Поликанова И.В. Критерии прямолинейности кривой, в сб. : Материалы Международной конференции «Классическая и современная геометрия», посвященной 100-летию со дня рождения профессора Левона Сергеевича Атанасяна (15 июля 1921 г. — 5 июля 1998 г.), Москва, 1–4 ноября 2021 г. Ч. 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 86–98 (ВИНИТИ РАН, М., 2023).

3. Норден А.П. Дифференциальная геометрия: Учебн. пособие для пед. ин-тов (Учпедгиз, М., 1948).

4. Савелов А.А. Плоские кривые: систематика, свойства, применения (справочное руководство) (ФИЗ-МАТЛИТ, М., 1960).

5. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию (Наука, М., 1977).

6. Ацель Я. Некоторые общие методы в теории функциональных уравнений одной переменной. Новые применения функциональных уравнений, УМН 11 (3), 3–68 (1956).

7. Ацель Я., Домбр Ж. Функциональные уравнения с несколькими переменными (ФИЗМАТЛИТ, М., 2003).

8. Поликанова И.В. О линиях с аффинно-эквивалентными дугами в n-мерном аффинном пространстве, Сиб. матем. журн. 63 (1), 180–196 (2022).

9. Поликанова И.В. О плоских линиях с аффинно-эквивалентными дугами, Сиб. электрон. матем. изв. 15, 882–889 (2018).

10. Тетенов А.В. Самоподобные жордановы дуги и граф-ориентированные системы подобий, Сиб. матем. журн. 47 (5), 1147–1159 (2006).

11. Bandt C., Kravchenko A.S. Differentiability of fractal curves, Nonlinearity 24, 2717–2728 (2011).

12. Тетенов А.В. Теоремы о строении самоаффинных жордановых дуг, в сб. : Международная конференция по геометрическому анализу, посвященная памяти академика Ю.Г. Решетняка, 23–29 октября 2022 г. Тез. докл., под ред. Басалаев С.Г., 115–116 (ИПЦ НГУ, Новосибирск, 2022).