Curves whose arcs with a fixed origin are similar
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2023-11-26-40
Abstract
The author previously put forward the hypothesis that in the n-dimensional Euclidean space En, curves, any two oriented arcs of which are similar, are rectilinear. The same statement was proven for dimensions n = 2 and n = 3. In a space of arbitrary dimension, the hypothesis found its confirmation in the class of rectifiable curves. The work provides a complete solution to the problem, and in a stronger version:
a) a curve in En, any two oriented arcs of which with a common origin (not fixed) are similar, is rectilinear;
b) if a curve in En has a half-tangent at its boundary point and any two of its oriented arcs with a beginning at this point are similar, then the curve is rectilinear;
c) if a curve in En has a tangent at an interior point and all its oriented arcs starting at this point are similar, then the curve is rectilinear. Examples of curves in E2 and E3 are given, in which all arcs with a common origin are similar, but they are not rectilinear, and a complete description of such curves in E2 is also given. Research methods are topological, set-theoretic, using the apparatus of functional equations.
About the Author
I. V. Polikanova
Altai State Pedagogical University
Russian Federation
Russian Federation
Irina Viktorovna Polikanova
55 Molodezhnaya str., Barnaul, 656031
References
1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы (Ин-т комп. исследов., М., 2002).
2. Поликанова И.В. Критерии прямолинейности кривой, в сб. : Материалы Международной конференции «Классическая и современная геометрия», посвященной 100-летию со дня рождения профессора Левона Сергеевича Атанасяна (15 июля 1921 г. — 5 июля 1998 г.), Москва, 1–4 ноября 2021 г. Ч. 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 86–98 (ВИНИТИ РАН, М., 2023).
3. Норден А.П. Дифференциальная геометрия: Учебн. пособие для пед. ин-тов (Учпедгиз, М., 1948).
4. Савелов А.А. Плоские кривые: систематика, свойства, применения (справочное руководство) (ФИЗ-МАТЛИТ, М., 1960).
5. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию (Наука, М., 1977).
6. Ацель Я. Некоторые общие методы в теории функциональных уравнений одной переменной. Новые применения функциональных уравнений, УМН 11 (3), 3–68 (1956).
7. Ацель Я., Домбр Ж. Функциональные уравнения с несколькими переменными (ФИЗМАТЛИТ, М., 2003).
8. Поликанова И.В. О линиях с аффинно-эквивалентными дугами в n-мерном аффинном пространстве, Сиб. матем. журн. 63 (1), 180–196 (2022).
9. Поликанова И.В. О плоских линиях с аффинно-эквивалентными дугами, Сиб. электрон. матем. изв. 15, 882–889 (2018).
10. Тетенов А.В. Самоподобные жордановы дуги и граф-ориентированные системы подобий, Сиб. матем. журн. 47 (5), 1147–1159 (2006).
11. Bandt C., Kravchenko A.S. Differentiability of fractal curves, Nonlinearity 24, 2717–2728 (2011).
12. Тетенов А.В. Теоремы о строении самоаффинных жордановых дуг, в сб. : Международная конференция по геометрическому анализу, посвященная памяти академика Ю.Г. Решетняка, 23–29 октября 2022 г. Тез. докл., под ред. Басалаев С.Г., 115–116 (ИПЦ НГУ, Новосибирск, 2022).
Review
For citations:
Polikanova I.V. Curves whose arcs with a fixed origin are similar. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2023;(11):26-40. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2023-11-26-40
Views:
151
Email this article 