Generate QR code
Open Access
Subscription Access
Below-threshold effects for the two particle discrete Schr¨odinger operator on a lattice
https://doi.org/10.26907/0021-3446-2025-9-13-24
Abstract
We consider the family of Schrödinger operators Hγλ(K), which are associated with the Hamiltonian of a system of two identical bosons on the d-dimensional lattice Zd, where d≥3, with interactions on each site and between nearest-neighbor sites with strengths γ∈R− and λ∈R−, respectively. Here, K∈Td is a fixed quasi-momentum of the particles. We first partition the (γ,λ)−plane into connected components S0, S1 and Cj,j=0,1,2. Further, we establish below-threshold effects for Hγλ(0) on the boundaries of the connected components ∂S0 and ∂Cj,j=0,2.
About the Authors
I. N. Bozorov
V.I. Romanovsky Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of Uzbekistan; Kimyo International University in Tashkent
Uzbekistan
Uzbekistan
Islom Namozovich Bozorov
9 University str., Tashkent, 100174; 156 Shota Rustaveli str., Tashkent, 100121
Sh. I. Khamidov
V.I. Romanovsky Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of Uzbekistan
Uzbekistan
Uzbekistan
Shakhobiddin Ilkhomovich Khamidov
9 University str., Tashkent, 100174
References
1. Mattis D. The few-body problem on a lattice, Rev. Mod. Phys. 58, 361–379 (1986).
2. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. Schr¨odinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics, Ann. Henri Poincar´e 5, 743–772 (2004).
3. Лакаев С.Н. Об эффекте Ефимова в системе трех одинаковых квантовых частиц, Функц. анализ и его прил. 27 (3), 15–28 (1993).
4. Bloch I. Ultracold quantum gases in optical lattices, Nat. Phys. 1, 23–30 (2005).
5. Jaksch D., Bruder C., Cirac J.I., Gardiner C.W., Zoller P. Cold bosonic atoms in optical lattices, Phys. Rev. Lett. 81, 3108–3111 (1998).
6. Jaksch D., Zoller P. The cold atom Hubbard toolbox, Ann. Phys. 315, 52–79 (2005).
7. Lewenstein M., Sanpera A., Ahufinger V. Ultracold Atoms in Optical Lattices: Simulating Quantum Manybody Systems (Oxford University Press, Oxford, 2012).
8. Ospelkaus C., Ospelkaus S., Humbert L., Ernst P., Sengstock K., Bongs K. Ultracold heteronuclear molecules in a 3d optical lattice, Phys. Rev. Lett. 97 (120402) (2006).
9. Winkler K., Thalhammer G., Lang F., Grimm R., Hecker Denschlag J., Daley A.J., Kantian A., B¨uchler H.P., Zoller P. Repulsively bound atom pairs in an optical lattice, Nature 441, 853–856 (2006).
10. Albeverio S., Lakaev S.N., Makarov K.A., Muminov Z.I. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians on lattices, Commun. Math. Phys. 262 (1), 91–115 (2006).
11. Faria Da Veiga P.A., Ioriatti L., O’Carroll M. Energy-momentum spectrum of some two-particle lattice Schr¨odinger Hamiltonians, Phys. Rev. E. 66 (016130) (2002).
12. Mogilner A. Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schr¨odinger operators: Problems and results, Adv. Soc. Math. 5, 139–194 (1991).
13. Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. О спектре двухчастичного оператора Шредингера на решетке, ТМФ 155 (2), 287–300 (2008).
14. Муминов М.Э., Шодиев У.Р. О спектральных свойствах одного гамильтониана системы четыpех частиц на решетке, Изв. вузов. Матем. (12), 32–43 (2010.).
15. Муминов М.Э., Шодиев У.Р. О существенном спектре одного четырехчастичного оператора Шредингера на решетке, Матем. тр. 13 (1), 169–185 (2011).
16. Абдуллаев Ж.И., Халхужаев А.М., Расулов Т.Х. Инвариантные подпространства и собственные значения трехчастичного дискретного оператора Шрёдингера, Изв. вузов. Матем. (9), 3–19 (2023).
17. Бахронов Б.И., Расулов Т.Х., Рехман М. Условия существования собственных значений трехчастичного решетчатого модельного гамильтониана, Изв. вузов. Матем. (7), 3–12 (2023).
18. Расулов Т.Х., Мухитдинов Р.Т. Конечность дискретного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке, Изв. вузов. Матем. (1), 61–70 (2014).
19. Абдуллаев Ж.И., Халхужаев А.М., Хужамиеров И.А. Условие существования собственного значения трехчастичного оператора Шрёдингера на решетке, Изв. вузов. Матем. (2), 3–25 (2023).
20. Муминов М.Э., Шерматова Ё.М. О конечности дискретного спектра трехчастичного оператора Шрёдингера на решетке, Изв. вузов. Матем. (1), 27–35 (2016).
21. Kuljanov U.N. On the spectrum of the two-particle Schr¨odinger operator with point potential: one dimensional case, Наносистемы: физика, химия, матем. 14 (5), 505–510 (2023).
22. Muminov Z.E., Lakaev Sh.S., Kulzhanov U.N. On the Spectrum of the Two-particle Schr¨odinger Operator with Point Interaction, Lobachevskii J. Math. 42 (3), 598–605 (2021).
23. Лакаев С. Н., Бозоров И. Н. Число связанных состояний одночастичного гамильтониана на трехмерной решетке, ТМФ 158 (3), 425–443 (2009).
24. Lakaev S. N., Kholmatov Sh. Yu., Khamidov Sh. I. Bose–Hubbard models with on-site and nearest-neighbor interactions: exactly solvable case, J. Phys. A: Math. 54 (2021).
25. Lakaev S. N., Khamidov Sh. I. On the number and location of eigenvalues of the two particle Schr¨odinger operator on a lattice, Lobachevskii J. Math. 43 (12), 3541–3551 (2022).
26. Имомов А.А., Бозоров И.Н., Хуррамов А.М. О числе собственных значений модельного оператора на одномерной решетке, Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и механ. (78), 22–37 (2022).
27. Khalkhuzhaev A., Khamidov Sh., Mahmudov H. On the Existence of Eigenvalues of the One Particle Discrete Schr¨odinger Operators, AIP Conf. Proc. 3004 (020007) (2024).
28. Muminov M.I., Hurramov A.M., Bozorov I.N. Conditions for the existence of bound states of a two-particle Hamiltonian on a three-dimensional lattice, Наносистемы: физика, химия, матем. 13 (3), 237–244 (2022).
29. Muminov M.I., Hurramov A.M., Bozorov I.N. On eigenvalues and virtual levels of a two-particle Hamiltonian on a d-dimensional lattice, Наносистемы: физика, химия, матем. 14 (3), 295–303 (2023).
30. Bozorov I.N., Khamidov Sh.I., Lakaev S.N. The number and location of eigenvalues of the two particle discrete Schr¨odinger operators, Lobachevskii J. Math. 43 (11), 3079–3090 (2022).
31. Lakaev S.N., Motovilov A.K., Abdukhakimov S.Kh. Two-fermion lattice Hamiltonian with first and second nearest-neighboring-site interactions, J. Phys. A: Math. 56 (315202) (2023).
32. Simon B. Notes on infinite determinants of Hilbert space operators, Adv. Math. 24 (2), 244–273 (1977).
33. Лакаев С.Н., Тилавова Ш.М. Слияние собственных значений и резонанса двухчастичного оператора Шредингера, ТМФ 101 (2), 235–252 (1994).
34. Лакаев С.Н., Холматов Ш.Ю. Асимптотика собственных значений дискретного оператора Шредингера с контактным потенциалом, Изв. РАН Сер. Матем. 76 (5), 99–118 (2012).
Review
For citations:
Bozorov I.N., Khamidov Sh.I. Below-threshold effects for the two particle discrete Schr¨odinger operator on a lattice. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. 2025;1(9):13-24. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/0021-3446-2025-9-13-24
Views:
63
Email this article 