Единственность и представление решений обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу

Аннотация

Пусть $\beta\geq\alpha>-1/2$, $F$ — четная функция класса $C^2(\mathbb{R})$. В работе изучаются свойства решений задачи Коши

$$\frac{\partial^2U}{\partial x^2}+\frac{(2\alpha+1)}{x}\frac{\partial U}{\partial x}=   \frac{\partial^2U}{\partial t^2}+\frac{(2\beta+1)}{t} \frac{\partial U}{\partial t}, \quad x>0,\,\, t>0,$$

$$U(x,0)=F(x), \quad \frac{\partial U}{\partial t}(x,0)=0, \quad x\geq 0,$$ связанные со структурой ядра оператора

$$\mathcal{A}F(t)=\int\limits_{0}^{\pi}F(\sqrt{r^2+t^2-2rt\cos\theta})\sin^{2\alpha}\theta d\theta$$

при фиксированном $r>0$. Показано, что функции из $\mathrm{Ker}\, \mathcal{A}$ однозначно определяются своими значениями на $(0,r)$ и этот промежуток нельзя заменить на интервал $(0,\rho)$ with $\rho<r$. Найдено описание $\mathrm{Ker}\, \mathcal{A}$ в виде рядов по нормированным функциям Бесселя $j_\alpha(\lambda x)$, $\lambda\in\mathcal{N}_r$, где $\mathcal{N}_r=\{x>0: j_\alpha(rx)=0 \}$. С помощью этих результатов установлены новые теоремы единственности для решений указанной задачи Коши, получены теоремы о представлении решений, удовлетворяющих условию $U(\xi,t)=0$, $\xi\in E$, $t>0$, где множество $E$ состоит из одного положительного числа или $E$ совпадает с множеством положительных нулей функции $j_\alpha$, а также доказана новая теорема о двух радиусах.